Data una funzione [math]\large\bf y=f(x)[/math] [b]derivabile[/b] nell'intervallo [math]\large\bf [a,b]\subset D\left(f\right)[/math], la lunghezza del tratto di curva compreso nell'intervallo è:[center][math]\Large\bf L=\int_a^b\sqrt{1+\left[f'\left(x\right)\right]^2}dx[/math][/center][center]________________________________________________________________________________________________________[/center]

Si suddivide l'intervallo [math]\large\bf [a,b][/math] in [b]n[/b] intervalli uguali [math]\large\bf [x_i, x_{i+1}]_{\left(i=1,\dots,n\right)}[/math], con [math]\large\bf a=x_1[/math] e [math]\large\bf b=x_{n+1}[/math], di ampiezza [math]\large\bf \Delta x=\frac{b-a}{n}[/math].[br]Si uniscono gli estremi della funzione in ogni intervallo, ovvero i punti di coordinate [math]\large\bf P_i\left(x_i,\ f\left(x_i\right)\right)\quad\left(i=1,\dots,n\right)[/math] generando una poligonale che [b]approssima[/b] la curva all'aumentare di [b]n[/b].[br]Ogni tratto si individua un triangolo rettangolo che ha per ipotenusa i segmenti stessi e con i cateti paralleli agli assi, rispettivamente [math]\large\bf \Delta x[/math] e [math]\large\bf \Delta y_i[/math].[br]Pertanto, applicando il [b]Teorema di Pitagora[/b], la lunghezza di ogni tratto è:[br][center][math]\large\bf L_i=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y_i^2}=\Delta x\cdot\sqrt{1+\frac{\Delta y_i^2}{\Delta x^2}}=\Delta x\cdot\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x}\right)^2}[/math][/center]dopo aver raccolto e portato fuori radice [math]\large\bf \Delta x[/math].[br]La lunghezza della poligonale è pertanto la somma delle lunghezze dei singoli tratti, ovvero:[center][math]\large\bf L_p=\sum_{i=1}^nL_i=\sum_{i=1}^n\Delta x\cdot\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x}\right)^2}[/math][/center]In analogia alla definizione d'integrale definito, se si calcolano i limiti per [b]n che tende a infinito[/b] si ha quanto segue:[br][center][math]\begin{array}{rccc}\lim_{n\to+\infty}&\sum_{i=1}^n&\Delta x&\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x}\right)^2}\\ &\downarrow&\downarrow&\downarrow\\\large\bf L=&\large\bf \int_a^b&\large\bf dx&\large\bf \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\end{array}[/math][/center]ovvero concettualmente si riconduce la sommatoria discreta [math]\large\bf\sum_{i=1}^n[/math] alla sommatoria continua [math]\large\bf\int_a^b[/math], [math]\large\bf \Delta x[/math] diventa infinitesimo [math]\large\bf dx[/math], mentre [math]\large\bf \frac{\Delta y_i}{\Delta x}[/math] diventa [math]\large\bf\frac{dy}{dx}=f'\left(x\right)[/math].[br]Riordinando si ottiene:[center][math]\Large\bf L=\int_a^b\sqrt{1+\left[f'\left(x\right)\right]^2}dx[/math][/center]

In caso che la funzione non sia derivabile in un numero finito di punti, ovvero non continua con discontinuità di prima e/o terza specie, si può ripartire il problema partizionando l'intervallo e applicando la [b]proprietà 5[/b] degli integrali definiti.