[b]Disuguaglianze che coinvolgono angoli esterni e interni[/b] [br][br]Nella seguente attività puoi modificare le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli spostando a piacere con il mouse i tre vertici.[br]Esiste una relazione di disuguaglianza, che resta valida al variare del triangolo, tra l'ampiezza dell'angolo esterno [code][/code] DBC e quelle degli angoli interni?

Hai notato che l'angolo esterno di vertice B, al variare del triangolo, resta sempre maggiore degli angoli interni di vertici A e C?[br]Non è solo una tua congettura, può essere dimostrato. Vale infatti il seguente terema.[br][br][b]Primo teorema dell'angolo esterno[/b][br][b]In ogni triangolo ciascun angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacente.[/b][br][br]Nella seguente attività si dimostra, in particolare, che l'angolo esterno di vertice B è maggiore dell'angolo interno di vertice C.[br]

In modo del tutto analogo, considerando l'angolo esterno individuato dal lato AB e dal prolungamento del lato CB [che essendo opposto al vertice a quello precedentemente considerato è ad esso congruente] e tracciando la mediana condotta dal vertice C, si arriva a dimostrare che l'angolo esterno in B è maggiore dell'angolo interno in A.

[b]Disuguaglianze che coinvolgono i lati e gli angoli interni[br][br][/b]Nella seguente attività puoi modificare le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli spostando a piacere con il mouse i tre vertici.[br]Esiste una relazione, che resta valida al variare del triangolo, tra le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli opposti?

Hai notato che se ordini i lati per lunghezze crescenti (o decrescenti), le ampiezze degli angoli ad essi opposti risultano pure ordinate in senso crescente (o decrescente)?[br]Vale infatti il seguente teorema[br][b]Se in un triangolo un lato è maggiore di un altro, allora l'angolo opposto al primo è maggiore dell'angolo opposto al secondo[/b].[br]Per la dimostrazione vedi [url=http://www.ripmat.it/mate/f/fd/fdbb.html]qui[/url].[br]Vale anche il teorema inverso:[br][b]Se in un triangolo un angolo è maggiore di un altro, allora il lato opposto al primo è maggiore del lato opposto al secondo[/b][br]Per la dimostrazione vedi [url=http://www.ripmat.it/mate/f/fd/fdbc.html]qui[/url].[br][br]Cosa succede quando un triangolo è isoscele? Un tale triangolo ha, per definizione, due lati uguali. Gli angoli opposti a tali lati sono gli angoli alla base che, per una nota proprietà dei triangoli isosceli, sono uguali.[br]Viceversa, se un triangolo ha due angoli uguali allora è isoscele, perciò i lati ad essi opposti, essendo i lati obliqui, sono uguali. Chi non conosce le proprietà citate può consultare il [url=https://www.geogebra.org/m/vCvc9WnN]foglio di lavoro geogebra dedicato[/url].

[b]Disuguaglianze tra i lati[br][br][/b]Nella seguente attività puoi costruire un triangolo dati i lati, quando questo è possibile.[br]Puoi modificare il lato AB spostando con il mouse i suoi estremi.[br]Per gli altri due lati scegli le lunghezze muovendo il secondo estremo dei segmenti A[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub] e B[sub]2[/sub]C[sub]2[/sub], che sono rispettivamente conguenti ai lati AC e BC del triangolo.[br]Nel riquadro di destra puoi verificare se certe disuguaglianze sono o non sono verificate.

Avrai notato che se la lunghezza di AB è maggiore della somma delle lunghezze di AC e CB o minore del valore assoluto della loro differenza il triangolo non può essere costruito. Lo stesso può dirsi, scambiando i ruoli, dei lati BC e AC. Vale infatti il seguente teorema:[br][br][b]In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due lati e maggiore della loro differenza [/b](intesa come differenza tra il maggiore e il minore).[br][br]Per la dimostrazione delle due tesi vedi [url=http://www.ripmat.it/mate/f/fd/fdbd.html]qui[/url] e [url=http://www.ripmat.it/mate/f/fd/fdbe.html]qui[/url].