El Jacobiano de un cambio de variables en el espacio mide la variación de primer orden del [i]elemento infinitesimal de volumen[/i] bajo el cambio de variables. [br][br]El objetivo de esta construcción es mostrar el cambio de un [i]elemento infinitesimal de volumen[/i] bajo la acción del cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas en las que se usan el ángulo polar y el ángulo azimutal. [br][br]La variación de volumen es máxima en el ecuador y se reduce en los polos (es decir, cambia al desplazarnos por un meridiano) o lo que es lo mismo, cuando [math]\text{\varphi}[/math] varía. El volumen se mantiene igual si nos desplazamos por los paralelos, es decir al variar [math]\text{\theta}[/math]. El volumen aumenta si aumenta el radio, o lo que es lo mismo al aumentar [math]\text{r}[/math]. La expresión del Jacobiano de las coordenadas esféricas en términos del ángulo azimutal [math]\text{\theta}[/math] y del polar [math]\text{\varphi}[/math] es:[br][br][math]\text{\left|\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(\theta,\varphi,r)}\right|=r\sin\varphi}[/math].

Al mover los deslizadores de [math]\text{\theta}[/math] y [math]\text{\varphi}[/math] se mueve el punto rojo sobre el rectángulo, y al mover el punto rojo y [math]\text{r}[/math] (en amarillo sobre la semirrecta) se mueve el punto rojo sobre la esfera. El volumen azul entre las esferas representa el [i]elemento diferencial de volumen[/i] para esos valores de [math]\text{\theta}[/math], [math]\text{\varphi}[/math] y [math]\text{r}[/math]. [br][br]Al mover los deslizadores, o el punto rojo, el [i]elemento diferencial de volumen[/i] cambia de posición pero también de tamaño. Es mayor cuanto más cerca del ecuador (cuando [math]\text{\varphi}[/math] sea cercano a [math]\text{\pi/2}[/math]) y menor cerca de los polos (cuando [math]\text{\varphi}[/math] sea cercano a [math]\text{0}[/math] o [math]\text{\pi}[/math]). También aumenta el volumen al aumentar [math]\text{r}[/math]. Sin embargo el volumen no cambia si solo se varía [math]\text{\theta}[/math] (solo cambia la posición). Es decir, el Jacobiano de las coordenadas esféricas en términos del ángulo polar no depende de [math]\text{\theta}[/math], solo depende de [math]\text{r}[/math] y [math]\text{\varphi}[/math].