Der Graph der Funktion [math]f[/math] wird durch folgenden Weg parametrisiert:[br][math]g:\left[0,5\right]\rightarrow\mathbb{R}^2,g\left(t\right)=\left(\begin{matrix}t\\2t^3-t^2+3\end{matrix}\right)[/math][br][br]Man den Graph jeder beliebigen eindimensionalen Funktion parametrisieren, indem man für die x-Komponente des Weges die Funktionsvariable und für die y-Komponente des Weges die eindimensionale Funktionsvorschrift einträgt.

Beispiele für Wege mit dieser Kurve:[br][math]f:\left[1,2\right]\rightarrow\mathbb{R}^2,f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}t\\3t-2\end{matrix}\right)[/math][br][math]g:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}^2,g\left(t\right)=\left(\begin{matrix}1+t\cdot1\\1+t\cdot3\end{matrix}\right)[/math][br][math]h:\left[1,2\right]\rightarrow\mathbb{R}^2,h\left(t\right)=\left(\begin{matrix}3-t\\-3t+7\end{matrix}\right)[/math][br][math]i:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}^2,i\left(t\right)=\left(\begin{matrix}2-t\\4-3t\end{matrix}\right)[/math][br][math]j:\left[2,3\right]\rightarrow\mathbb{R}^2j\left(t\right)=\left(\begin{matrix}t-1\\3t-5\end{matrix}\right)[/math][br]

Eine Möglichkeit weitere Parametrisierungen aus einer gegebenen herzuleiten, ist die Veränderung der Funktionsvariable [math]t[/math].[br]Ersetzt man [math]t[/math] durch [math]s:=t-1[/math], so ergibt sich eine Parametrisierung derselben Kurve durch den Weg:[br][math]f_{neu}:\left[a+1,b+1\right]\rightarrow\mathbb{R}^3,f_{neu}\left(s\right)=\left(\begin{matrix}x\left(s\right)\\y\left(s\right)\\z\left(s\right)\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\left(t-1\right)\\y\left(t-1\right)\\z\left(t-1\right)\end{matrix}\right)[/math][br]Beachte, dass der Definitionsbereich dabei angepasst werden muss. Da [math]s=t-1[/math] gilt, müssen beide Intervallgrenzen um 1 erhöht werden.[br][br]Im Allgemeinen kann man aus der Parametrisierung [math]f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^3,f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}x\left(t\right)\\y\left(t\right)\\z\left(t\right)\end{matrix}\right)[/math] eine neue Parametrisierung der Form [math]f_g:\left[g^{-1}\left(a\right),g^{-1}\left(b\right)\right]\rightarrow\mathbb{R}^3,f_g\left(g\left(t\right)\right)=\left(\begin{matrix}x\left(g\left(t\right)\right)\\y\left(g\left(t\right)\right)\\z\left(g\left(t\right)\right)\end{matrix}\right)[/math] herleiten, wobei [math]g[/math] eine invertierbare Funktion sein muss.

Aus der vorherigen Aufgabe wird deutlich, dass man aus einer gegebenen Parametrisierung eine neue erzeugen kann, indem man die Funktionsvariable durch eine invertierbare Funktion abändert und die Intervallgrenzen durch ihr Inverses. (Z.B [math]s:=t-1\Rightarrow\left[a,b\right]\rightarrow\left[a+1,b+1\right][/math]) Dies kann man immer weiter fortführen, um beliebig viele weitere Parametrisierungen zu erhalten. ([math]r:=s-1\Rightarrow\left[a+1,b+1\right]\rightarrow\left[a+2,b+2\right][/math])