[size=150][color=#ff0000]LA NOSTRA PRIMA DISEQUAZIONE ESPONENZIALE[/color][/size][br]Iniziamo come al solito da un problema numericamente molto semplice:[br][br][color=#0000ff][b]In una riserva vengono messi dei lupi a rischio di estinzione perché possano riprodursi. I lupi iniziali sono 6, e raddoppiano ogni decennio. [br][br]La normativa sulla caccia impedisce di cacciare animali di cui sono presenti [u]meno[/u] di 96 esemplari. Quando bisognerà intervenire e dividere la popolazione di lupi in due riserve separate per evitare che i cacciatori possano iniziare a cacciare e distruggano il lavoro svolto?[br][br][/b][/color]La funzione che fornisce il numero di lupi dopo [math]\large{d}[/math] decenni è [br][br][math]\Large{L(d)=6\cdot 2^d}[/math][br][br]Vogliamo sapere in quale periodo i lupi saranno al sicuro perché sono [b]meno di 96[/b], quindi impostiamo la disequazione[br][br][math]\Large{6\cdot 2^d<96}[/math][br][br]Procediamo come al solito isolando la potenza con l'incognita[br][br][math]\Large{\frac{6\cdot 2^d}{\textcolor{red}{6}}<\frac{96}{\textcolor{red}{6}}\ \rightarrow \ 2^d<16}[/math][br][br]Dato che [math]\large{16=2^4}[/math] abbiamo [br][br][math]\Large{2^d<2^4}[/math][br][br]Dato che la prima potenza deve essere minore della seconda, e che [b]al crescere dell'esponente la prima potenza aumenta[/b] (ogni volta che aumenta il numero [math]\large{d}[/math] di decenni trascorsi aumenta, il numero di lupi viene moltiplicato per 2 e quindi cresce), [b]il primo esponente deve essere minore del secondo[/b], cioè [math]\large{d<4}[/math]: bisogna intervenire entro 4 decenni, ovvero 40 anni, e dividere i lupi, altrimenti saranno raddoppiati troppe volte (e rischieranno di essere cacciati).

[size=150][color=#ff0000]QUALE DIFFERENZA CON LE EQUAZIONI?[br][/color][/size]Abbiamo risolto la nostra prima disequazione in modo del tutto identico a quello utilizzato per le equazioni:[br] [br][list=1][*]isolare la potenza che contiene l'incognita[/*][*]riscrivere i due membri come potenze con la stessa base[/*][*]confrontare gli esponenti[/*][/list][br]Quindi è tutto identico alle equazioni? Ovviamente no, sarebbe [i]troppo bello[/i]. Vediamo questo esempio.[br][br][color=#0000ff][b]Finora sono sopravvissuti 960 esemplari di orso maculato, ma ogni anno dimezzano. Fra quanti anni ce ne saranno meno di 120?[br][br][/b][/color]La funzione che descrive il numero di orsi superstiti dopo [math]\large{a}[/math] anni è:[br][br][math]\Large{O(a)=960 \cdot 0,5^a}[/math][br][br]e poiché vogliamo meno di [math]\large{120}[/math] orsi impostiamo la disequazione[br][br][math]\Large{960 \cdot 0,5^a<120}[/math] [br][br]Isoliamo la potenza con l'incognita: [br][br][math]\Large{\frac{960\cdot 0,5^d}{\textcolor{red}{960}}<\frac{120}{\textcolor{red}{960}}\ \rightarrow \ 0,5^d<\frac{1}{8}}[/math][br][br]Per cercare di riscrivere i due membri come potenze con la stessa base conviene utilizzare le frazioni[br][br][math]\Large{0,5^d<\frac{1}{8} \ \rightarrow \ \left ( \frac{1}{2}\right )^d<\left (\frac{1}{2} \right )^3}[/math][br][br]A questo punto avendo due potenze con la stessa base, verrebbe da confrontare i due esponenti, [b][color=#ff0000]ma bisogna prestare molta attenzione, come mostra la seguente animazione[/color][/b].[br][br]

[color=#ff0000][b]Nelle disequazioni esponenziali[/b][/color] quindi bisogna prestare attenzione al valore della base: [color=#ff0000][b]se la base è minore di 1, la funzione è decrescente, esponente e risultato hanno andamenti opposti: maggiore è l'esponente, minore è il risultato della potenza e viceversa. Di conseguenza se si vuole un risultato maggiore bisogna considerare esponenti minori e viceversa[/b][/color]. [br][br]Ne consegue che [b][color=#ff0000]se la base è minore di 1 quando si passa a confrontare gli esponenti bisogna invertire il verso della disequazione[/color][/b]. [br][br]Vediamo un altro esempio un po' diverso dal solito.[br][br][b][color=#0000ff]Ad un picnic mi dimentico un panino sulla tovaglia ed ogni minuto che passa le formiche mangiano il 7% del panino che è rimasto. Entro quanto tempo devo salvare il panino per trovarne almeno la metà?[br][br][/color][/b]Chiamiamo [math]\large{P_0}[/math] la quantità iniziale di panino (potrebbe essere misurata in grammi, ad esempio). Dato che le formiche ne fanno sparire il [math]\large{7\%}[/math] ogni minuto che passa, ogni volta ne resta il [math]\large{100\%-7\%=93\%}[/math], quindi la quantità di panino rimasto è data dalla funzione:[br][br][math]\Large{P(m)=P_0\cdot 0,93^m}[/math][br][br]Impostiamo la disequazione considerando che vogliamo [b]almeno[/b] metà della quantità iniziale, cioè [b]almeno[/b] [math]\large{\frac{1}{2}P_0}[/math] (cioè voglio che ci sia [b]più di metà[/b], [b]o[/b] come minimo [b]uguale alla metà[/b]):[br][br][math]\Large{P_0\cdot 0,93^m \ge \frac{1}{2}P_0}[/math][br][br]Isolando la potenza in cui compare l'incognita vediamo che il parametro [math]\large{P_0}[/math] sparisce, e quindi non influisce sulla soluzione del problema:[br][br][math]\Large{\frac{P_0\cdot 0,93^m}{\textcolor{red}{P_0}}\ge\frac{\frac{1}{2}P_0}{\textcolor{red}{P_0}}\ \rightarrow \ 0,93^m\ge\frac{1}{2}}[/math][br][br]I due membri sono molto diversi ed apparentemente è impossibile esprimerli come potenze con la stessa base. Ricorriamo al concetto di logaritmo:[br][b]scegliamo una base di riferimento[/b] - prendiamo [math]\large{0,93}[/math] perché è quella in cui compare l'incognita[br][b]riscriviamo l'altra quantità come potenza con quella base usando il corrispondente logaritmo;[/b] [br][br][math]\Large{\frac{1}{2} = \textcolor{blue}{0,93}^{\textcolor{red}{\log_{0,93}{\frac{1}{2}}}}}[/math][br][br]ricordiamo che questa espressione, apparentemente complessa, dice in realtà una banalità, cioè che posso ottenere [math]\large{\frac{1}{2}}[/math] elevando [math]\large{\textcolor{blue}{0,93}}[/math]... [color=#ff0000]all'esponente che devo dare a [math]\large{\textcolor{red}{0,93}}[/math] per ottenere [math]\large{\textcolor{red}{\frac{1}{2}}}[/math][/color]![br][br]A questo punto posso riscrivere la disequazione usando la base comune:[br][br][math]\Large{0,93^m\ge0,93^{\log_{0,93}{\frac{1}{2}}}}[/math][br][br]È il momento di confrontare gli esponenti, [b]ma dato che la base è minore di 1, devo invertire il verso della disequazione[/b]: più passa i minuti, più il panino DIMINUISCE - se voglio che rimanga PIÙ di una certa quantità devo prendere un esponente MINORE. [br][br]Ottengo quindi che avrò almeno metà panino per [br][br][math]\Large{m\le 0,93\log_{0,93}{\frac{1}{2}} }[/math][br][br]Per ottenere il valore di [math]\large{\log_{0,93}{\frac{1}{2}} }[/math] passo in base naturale usando la formula di cambio base e poi uso la calcolatrice:[br][br][math]\Large{\log_{0,93}{\frac{1}{2}} = \frac{\ln{\frac{1}{2}}}{\ln{0,93}}\approx 9,55}[/math][br][br]Di conseguenza devo prendere il panino entro [math]\large{9}[/math] minuti e [math]\large{0,55 \cdot 60= 33}[/math] secondi, o ne troverò meno della metà.