三角形の３つの直角双曲線

Bunryu Kamimura, Feb 29, 2016

三角形の３つの直角双曲線であるキーペルト双曲線とフォイエルバッハ双曲線とジェラベク双曲線の関係を調べる。 その為に、オイラー線の等角変形とHH’線の等距変形を調べた。 そこには対称的な美しい関係があった。

Table of Contents

  1. 等角変形
    1. 等角変形
    2. 等角変形O
    3. OIとナーゲル点とジェルゴンヌ点を結ぶ直線の交点
  2. 等距変形
    1. ナーゲル点とジェルゴンヌ点の等距変形＝フォイエルバッハ双曲線
    2. Na+GeとIOの交点
    3. 等距変形の三双曲線
    4. HH'線と３双曲線の交点の等距離共役点
    5. 逆中点三角形の類似重心がＨ’
    6. 逆中点三角形（中線三角形の拡張）
    7. 逆中点三角形の作図
  3. 等角等距変形
    1. ジェラベク双曲線になる直線
    2. フォイエルバッハ双曲線になる直線
    3. キーペルト双曲線になる直線
    4. 等角等距変形双曲線
    5. 三角形の直角双曲線のまとめ
    6. 等角等距離双曲線と三角形の心
    7. 三角形の中心の作る宇宙
  4. 三角形の直角双曲線の漸近線
    1. 直角双曲線と三角形
    2. 相反共役線を直交させる三角形
    3. 三角形の直角双曲線と漸近線
    4. 直角双曲線の垂足円は中心を通る
    5. 直角双曲線の漸近線

1.

等角変形

まず、等角変形でどんな直線の時に、どんな双曲線になるか調べる。 直角双曲線になるのはどこを通るときだろうか？ なお、等角共役点については次のブックを。 [url]http://tube.geogebra.org/material/simple/id/2702811[/url]

  • 1. 等角変形
  • 2. 等角変形O
  • 3. OIとナーゲル点とジェルゴンヌ点を結ぶ直線の交点

1.1.

等角変形

△ABCにおいてPとP'を等角共役点とする。PがSなる図形を描くとき、P’が描く図形S’をSの等角変形という。 キーペルト点の軌跡はOKの等角変形であり、キーペルト双曲線である。 刈屋点の軌跡は、OIの等角変形であり、フォイエルバッハ双曲線である。 OHの等角変形はジェラベク双曲線である。 DEを外接円に接するようにすると、双曲線が放物線になり、外接円の外だと楕円になる。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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2.

等距変形

次に等距変形で、直角双曲線になる場合を調べる。 等角変形の場合と同様に、直角双曲線が垂心を通る様にすればよい。 なお、等距離共役点については次のブックを。 [url]http://tube.geogebra.org/material/simple/id/2725265[/url]

  • 1. ナーゲル点とジェルゴンヌ点の等距変形＝フォイエルバッハ双曲線
  • 2. Na+GeとIOの交点
  • 3. 等距変形の三双曲線
  • 4. HH'線と３双曲線の交点の等距離共役点
  • 5. 逆中点三角形の類似重心がＨ’
  • 6. 逆中点三角形（中線三角形の拡張）
  • 7. 逆中点三角形の作図

2.1.

ナーゲル点とジェルゴンヌ点の等距変形＝フォイエルバッハ双曲線

ナーゲル点とジェルゴンヌ点を結んだ線の等距変形はフォイエルバッハ双曲線である。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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3.

等角等距変形

等角変形と等距変形を同時に比べる。 すると、３つの直角双曲線と２つの変形の間のきれいな対称性が浮かび上がる。 とても美しいと思う。

  • 1. ジェラベク双曲線になる直線
  • 2. フォイエルバッハ双曲線になる直線
  • 3. キーペルト双曲線になる直線
  • 4. 等角等距変形双曲線
  • 5. 三角形の直角双曲線のまとめ
  • 6. 等角等距離双曲線と三角形の心
  • 7. 三角形の中心の作る宇宙

3.1.

ジェラベク双曲線になる直線

ジェラベク双曲線になる二直線。 HとHの等距離共役点を結んだ線（緑）の等距変形 オイラー線（OH）の等角変形 OとHは互いに等角共役点。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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4.

三角形の直角双曲線の漸近線

三角形の直角双曲線とは何だろうか。 相反共役線を用いて、直角双曲線の漸近線を描いてみる。 その過程で、直角双曲線の意味がしっかりと浮かんでくる。

  • 1. 直角双曲線と三角形
  • 2. 相反共役線を直交させる三角形
  • 3. 三角形の直角双曲線と漸近線
  • 4. 直角双曲線の垂足円は中心を通る
  • 5. 直角双曲線の漸近線

4.1.

直角双曲線と三角形

△ABCに外接する直角双曲線はその垂心を通る。（ブリアンション、ポンスレ１８２１）[br]三角形の頂点を３つとも右側に持ってくると、面白い。
直角双曲線と三角形
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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