Esta actividad explora el efecto de una transformación lineal[size=100] [math]T[/math] ([/size]en[size=100] [math]R^2[/math]), [/size]y su relación con los [br][br]autovectores, autovalores y el determinante. Arrastra el punto[size=100] [math]P[/math] [/size]alrededor del círculo unitario, y mira cómo [br][br]cambia su imagen [math]TP[/math].[br][br]¿Puedes identificar los autovectores y los autovalores?

[br]El punto a[size=100]zul grande e[/size]s un punto [math]P[/math] sobre el círculo unitario. Su imagen [math]TP[/math] bajo la transformación T se [size=100]muestra como el punto [/size]más pequeño. [code][/code][br][br]Arrastre [math]P[/math] alrededor de la circunferencia y vea como cambia la imagen [math]TP[/math] . ¿Dónde están los autovectores? ¿Cuáles son (aproximadamente) los autovalores?.[br][br]Haga clic en 'Mostrar autovectores' en la parte superior derecha para verificar su respuesta.[br]Haga clic en 'Mostrar vectores de la base' para ver el efecto de la transformación [math]T[/math] [size=100]en los vectores de base estándar[/size] [math]e_1[/math], [math]e_2[/math] [size=150][size=100](también llamados[/size][/size] [math]i, j[/math]).[br][br][size=100]Puede ingresar una nueva transformación lineal cambiando valores en la matriz[/size][math]T[/math] [size=100]en la parte superior izquierda. También puedes arrastrar las imágenes[/size] [math]T e_1, T e_2[/math] [size=100]de los vectores de la base para cambiar a[/size] [math]T[/math].[br][br][size=100]Algunas transformaciones interesantes para probar:[/size][br][list][*] [math]T = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1& 0\end{bmatrix}[/math][br] [/*][*] [math]T = \begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}[/math] escribir como [math]\begin{bmatrix}0.71 & -0.71 \\ 0.71 & 0.71\end{bmatrix}[/math][br] [/*][*] [math]T = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}[/math][br] [/*][*] [math]T = \begin{bmatrix}\sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{4} \\ \sqrt{2} & -\frac{\sqrt{2}}{4}\end{bmatrix}[/math] escribir como [math]\begin{bmatrix}1.41 & 0.35 \\ 1.41 & -0.35\end{bmatrix}[/math][/*][/list][br]Preguntas a considerar: [br][list][*]¿Qué representan geométricamente los valores propios? [/*][/list][list][*]¿Qué representa geométricamente el determinante? [/*][/list][list][*]¿Cuál es la relación entre el determinante (det T) y los valores propios? [/*][/list][list][*]¿Qué significa geométricamente si el determinante es negativo? ¿positivo? ¿cero? [/*][br][/list]Mire dónde (si es que hay algún lugar) la imagen del círculo unitario se cruza con el círculo unitario. [br]¿Cuál es el significado de estos puntos de intersección? ¿Bajo qué condiciones de los valores propios se cruzan las curvas? [br][list][*]¿Cuál es la relación entre las imágenes [math]Te_1, Te_2[/math] y la matriz [math]T[/math]?[/*][/list][br][size=85]Clock image from Wikipedia by David Ilff - [url=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Clock_Tower_-_Palace_of_Westminster,_London_-_May_2007.jpg]https://en.wikipedia.org/wiki/File:Clock_Tower_-_Palace_of_Westminster,_London_-_May_2007.jpg[/url][/size][code][/code]