-
ΚΥΚΛΟΣ
-
1. Σχετική θέση δύο κύκλων
- Σχετική Θέση Δύο Κύκλων (Θεωρία)
- Σχετική Θέση Δύο Κύκλων (Εφαρμογές)
-
2. Εγγεγραμμένες - Επίκεντρες γωνίες
- Εγγεγραμμένες - Επίκεντρες Γωνίες
- Σχέση Εγγεγραμμένης και Επίκεντρης Γωνίας (Θεώρημα και Πορίσματα)
- Σχέση Εγγεγραμμένης και Επίκεντρης Γωνίας (Εφαρμογές)
- Εγγεγραμμένο Τετράπλευρο
-
3. Θεώρημα Χορδής και Εφαπτομένης
- Θεώρημα Χορδής και Εφαπτομένης
- Εφαπτόμενα Ευθύγραμμα Τμήματα από σημείο εκτός κύκλου
-
4. Δραστηριότητες
- Ασκήσεις στον κύκλο
This activity is also part of one or more other Books. Modifications will be visible in all these Books. Do you want to modify the original activity or create your own copy for this Book instead?
This activity was created by '{$1}'. Do you want to modify the original activity or create your own copy instead?
This activity was created by '{$1}' and you lack the permission to edit it. Do you want to create your own copy instead and add it to the book?
ΚΥΚΛΟΣ
Chrysovalanto Nikou, Jan 2, 2024
ΚΥΚΛΟΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ
Table of Contents
- Σχετική θέση δύο κύκλων
- Σχετική Θέση Δύο Κύκλων (Θεωρία)
- Σχετική Θέση Δύο Κύκλων (Εφαρμογές)
- Εγγεγραμμένες - Επίκεντρες γωνίες
- Εγγεγραμμένες - Επίκεντρες Γωνίες
- Σχέση Εγγεγραμμένης και Επίκεντρης Γωνίας (Θεώρημα και Πορίσματα)
- Σχέση Εγγεγραμμένης και Επίκεντρης Γωνίας (Εφαρμογές)
- Εγγεγραμμένο Τετράπλευρο
- Θεώρημα Χορδής και Εφαπτομένης
- Θεώρημα Χορδής και Εφαπτομένης
- Εφαπτόμενα Ευθύγραμμα Τμήματα από σημείο εκτός κύκλου
- Δραστηριότητες
- Ασκήσεις στον κύκλο
Σχετική Θέση Δύο Κύκλων (Θεωρία)
Δίνονται πιο κάτω φωτογραφίες από τη καθημερινότητα οι οποίες αναπαριστούν κύκλους σε διάφορες θέσεις.
Εικόνα 1 - Μεσαιωνικό Ρολόι
Εικόνα 2 - Σύμβολο Ολυμπιακών Αγώνων
Εικόνα 3 - Σκουλαρήκια
Εικόνα 4 - Ποδήλατο
Εικόνα 5 - Κρεμαστοί διακοσμητικοί χρυσοί κύκλοι για στολισμό κεριού
Εικόνα 6 - Ψηφιδωτοί Κύκλοι Αυδήμου
Περιγράψετε τη θέση δύο οποιονδήποτε κύκλων, όπως αυτοί εμφανίζονται στις πιο πάνω εικόνες.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Η καθηγήτρια της Τέχνης του Λυκείου σας αποφάσισε να σχεδιάσει το πιο πάνω σχήμα στην πρόσοψη της κλειστής αίθουσας γυμναστικής. Κάθε κύκλος θα έχει ακτίνα 70cm.
Μπορείτε να σκεφτείτε την πορεία που πρέπει να ακολουθήσει, για να μπορέσει εύκολα και με ακρίβεια να σχεδιάσει τους κύκλους αυτούς ;
Η καθηγήτρια σας διαθέτει ένα μεγάλο διαβήτη και μια μεγάλη ρίγα.
Σημείωση : Στην λευκή κόλλα που σας έχει δοθεί παρακαλώ να προσπαθήσετε με χρήση διαβήτη και ρίγας να σχεδιάσετε την πρώτη σειρά από τους πιο πάνω κύκλους χρησιμοποιώντας ως ακτίνα 2cm.
Για την αναπαραγωγή της πιο πάνω κατασκευής παρατηρούμε ότι χρειάζεται να γνωρίζουμε την ακριβή απόσταση των κέντρων των δύο κύκλων δηλαδή της διακέντρου.
Διάκεντρος δύο κύκλων ( Κ ,R ) και ( Λ, ρ ) ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κέντρα των δύο κύκλων. Το μήκος της συμβολίζεται με δ.
Στο πιο πάνω πρόβλημα η τιμή της διακέντρου άρα πρέπει να είναι ίση με :
Τι συμβαίνει όμως με τις υπόλοιπες θέσεις που εντοπίσαμε πιο πάνω στις εικόνες ; Για να εξετάσουμε ποια σχέση διέπει την διάκεντρο και τις ακτίνες των δυο κύκλων σε όλες τις πιο πάνω θέσεις που έχουμε εντοπίσει στις εικόνες ανοίξτε το πιο κάτω αρχείο και μετακινείστε τον δρομέα «d» για να μεταβάλετε την απόσταση μεταξύ των κέντρων των δύο κύκλων.
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ
Ποια / ες θέσεις έχουν οι δύο κύκλοι όταν έχουν δύο κοινά σημεία ;
Ποια / ες θέσεις έχουν οι δύο κύκλοι όταν έχουν ένα μόνο κοινό σημείο ;
Ποια / ες θέσεις έχουν οι δύο κύκλοι όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο ;
ΣΧΕΣΗ που συνδέει την απόσταση των δυο κέντρων με το άθροισμα και τη διαφορά των δυο ακτινών σε κάθε περίπτωση όταν
R > ρ :
Εφάπτονται εξωτερικά
Εφάπτονται εσωτερικά
Τέμνονται
Ξένοι εξωτερικά
Ξένοι εσωτερικά
Μπορείτε να σκεφτέιτε πόσες κοινές εφαπτομένες μπορούν να έχουν οι δύο κύκλοι σε κάθε περίπτωση ;
Εφάπτονται εξωτερικά
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
3
Εφάπτονται εσωτερικά
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
1
Τέμνονται
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
2
Ξένοι εξωτερικά
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
4
Ξένοι εσωτερικά
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Εγγεγραμμένες - Επίκεντρες Γωνίες
ΕΞΕΡΕΥΝΗΣΗ 1 - " Ο καλός φωτογράφος "
Στο πιο πάνω σχήμα, φαίνεται η κάτοψη μιας αίθουσας κινηματογράφου.
Ένας φωτογράφος τοποθέτησε μια φωτογραφική μηχανή (Α), που έχει άνοιγμα φακού 36, στο μέσο της τελευταίας σειράς, έτσι ώστε να βλέπει όλη την οθόνη, οπως φαίνεται στο σχήμα.
ΕΡΩΤΗΣΗ 1
Σε ποιες άλλες θέσεις θα μπορούσε να τοποθετήσει τη φωτογραφική μηχανή (Α) ώστε να καλύπτει ολόκληρη την οθόνη ;
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Οπουδήποτε στην περιφέρεια του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α και τα άκρα της οθόνης και είναι εντός της αίθουσας του κινηματογράφου.
ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ : Να μετακινήσετε στο πιο κάτω σχήμα το σημείο Α. Τι παρατηρείτε ;
ΕΡΩΤΗΣΗ 2
Ο φωτογράφος θέλει να τοποθετήσει ακόμα μια φωτογραφική μηχανή (Β) με φακό ανοίγματος 72. Σε ποια θέση πρέπει να τοποθετήσει τη φωτογραφική μηχανή (Β), ώστε να καλύπτει ολόκληρη την οθόνη ;
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Στο κέντρο Κ του προηγούμενου κύκλου που έχουμε διαγράψει.
ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ
Παρατηρούμε ότι το τρίγωνο ΑΚΓ’ είναι ισοσκελές αφού ΑΚ = ΚΓ’ = ακτίνα άρα . Η ως εξωτερική γωνία τριγώνου. Όμοια και άρα δηλαδή η φωτογραφική μηχανή (Β) πρέπει να τοποθετηθεί στη θέση Κ.
ΕΡΩΤΗΣΗ 3
Παρατηρείτε κάποια σχέση μεταξύ των γωνιών ΓΚΓ΄και ΓΑΓ΄ ;
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Η γωνία ΓΚΓ΄ είναι διπλάσια της γωνίας ΓΑΓ' .
ΕΞΕΡΕΥΝΗΣΗ 2 - Οπτικό Πεδίο
ΕΡΩΤΗΣΗ 1
Τι παρατηρείτε ;
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Όλοι οι θεατές βλέπουν με την ίδια γωνία.
ΟΡΙΣΜΟΣ
Εγγεγραμμένη γωνία κύκλου ονομάζεται η γωνία που η κορυφή της είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέμνουσες του κύκλου.
Θεώρημα Χορδής και Εφαπτομένης
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ
Στο πιο κάτω σχήμα μετακινήστε τις κορυφές Γ και Δ του τριγώνου ΒΔΓ.
Τι παρατηρείτε ;
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Οι γωνίες ΔΒΓ και ΓΔΕ είναι ίσες ( α = γ )
ΘΕΩΡΗΜΑ
Η γωνία που σχηματίζεται από μια χορδή ενός κύκλου και την εφαπτομένη στο ένα άκρο της είναι ίση με κάθε εγγεγραμμένη γωνία του κύκλου που βαίνει στο τόξο, το οποίο βρίσκεται μεταξύ των πλευρών της γωνίας.
Η γωνία ω είναι ίση με την γωνία φ.
Γωνία ω = εγγεγραμμένη γωνία
Γωνία φ = γωνία χορδής ΑΓ και
εφαπτομένης (ε)
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1.
Η γωνία ω είναι ίση με :
2.
Ποιά η τιμή του x , ψ και ω ;
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
x= 27
, ψ = 90, ω = 63
, ψ = 90, ω = 633.
Να υπολογίσετε την τιμή του x.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
x = 117
Ασκήσεις στον κύκλο
ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1 - Ασκήσεις στον κύκλο
ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2 - Ασκήσεις στον κύκλο
Saving…
All changes saved
Error
A timeout occurred. Trying to re-save …
Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.