[b]Problema:[/b] Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas a mais que a outra. Determine o tempo que cada uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.

Claramente, este é um problema de natureza quantitativa, que envolve o conceito de [i]vazão[/i]: [br]vazão é o volume de um determinado fluido que passa por uma determinada seção de um conduto por unidade de tempo. Por exemplo, se uma torneira enche um tanque de volume [math]V=2m^3[/math] em um tempo [math]t=5h[/math], dizemos que ela possui uma vazão [math]Q[/math] de [br][center][math]Q=\frac{V}{t}=\frac{2}{5}=0.4m^3\slash h.[/math][/center]

Seguindo a estratégia esboçada anteriormente, vamos chamar de [math]t_1[/math] e [math]t_2[/math] o tempo que cada torneira leva para encher o tanque, cujo volume vamos chamar de [math]V[/math]. Além disso, vamos chamar de [math]Q_1[/math] e [math]Q_2[/math] a vazão de cada torneira.

Vamos agora interpretar os dados do problema em termos das variáveis identificadas. Pela definição de vazão,[br][center][math]Q_1=\frac{V}{t_1}[/math][/center][br]e[br][center][math]Q_2=\frac{V}{t_2}.[/math][/center][br]Assumindo que a primeira torneira é a "mais rápida", temos que[br][center] [math]t_2=t_1+5,[/math][/center][br]já que para encher o mesmo tanque, a torneira mais lenta gasta [math]5h[/math] a mais que a outra.[br][br]Finalmente, as duas torneiras juntas funcionam como uma única torneira de vazão [math]Q_1+Q_2[/math], de modo que[br][center][math]Q_1+Q_2=\frac{V}{6},[/math][/center]já que juntas elas enchem o tanque em [math]6h[/math].[br][br]A animação abaixo ilustra a situação do problema.[br]

Chegamos ao seguinte sistema de equações que relacionam as variáveis do problema[br][center][math][br]\left\{\begin{align}[br]Q_1 &=\frac{V}{t_1} & (1) \\[br]Q_2 &=\frac{V}{t_2} & (2)\\[br]t_2 &=t_1+5 & (3) \\[br]Q_1+Q_2 &= \frac{V}{6} & (4)\\[br]\end{align}\right..[br][/math][/center][br](os números ao lado das equações servem para nos referirmos a elas) Agora estamos no domínio da álgebra e podemos aplicar todas as regras válidas de manipulação de equações. Por exemplo, podemos substituir as equações (1) e (2) na equação (4) para obter a equação[br][center][math][br]\begin{align}[br]\frac{V}{t_1}+\frac{V}{t_2} &= \frac{V}{6} & (5) [br]\end{align}[br][/math][/center]Como estamos assumindo que o tanque tem algum volume, temos que [math]V[/math] é diferente de zero, por isso podemos dividir ambos os membros da equação (5) por [math]V[/math], obtendo a equação [br][center][math][br]\begin{align}[br]\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2} &= \frac{1}{6} & (6) [br]\end{align}[br][/math][/center]Finalmente, substituindo a equação (3) na equação (6), temos que uma equação que envolve apenas a variável [math]t_1[/math]:[br][center][math][br]\begin{align}[br]\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_1+5} &= \frac{1}{6} & (7) [br]\end{align}[br][/math][/center][br]Somando as frações do lado esquerdo, temos que[br][center][math][br]\begin{align}[br]\frac{2t_1+5}{t_1(t_1+5)} &= \frac{1}{6} & (8) [br]\end{align}[br][/math][/center][br]Donde concluimos que [br][center][math][br]\begin{align}[br]12t_1+30 &= t_1^2+5t_1 & (9) [br]\end{align}[br][/math][/center][br]ou seja, [br][center][math][br]\begin{align}[br]t_1^2-7t_1 -30 &= 0 & (10) [br]\end{align}[br][/math][/center][br]Que é uma equação do segundo grau em [math]t_1[/math] que possui soluções [br][math]t_1=10[/math] ou [math]t_1=-3[/math].

Claramente a solução [math]t_1=-3[/math] não faz sentido dentro do problema, portanto a única solução possível acontece se [math]t_1=10h[/math], donde concluímos que [math]t_2=t_1+5=15h[/math]. Substituindo esses valores na equação (6), comprovamos de fato que eles fornecem a solução do problema. Sendo assim, uma torneira leva [math]10h[/math] para encher o tanque e a outra leva [math]15h[/math].

[math]\, [/math]