Eine wichtige und namensgebende Eigenschaft der Geometrischen Folge ist, dass ein Folgenglied durch das geometrische Mittel aus ihrem direkten Vorgänger und Nachfolger bestimmt ist. Es gilt also[br] (1) [math]a_i=\sqrt{a_{i-1}\cdot a_{i+1}}[br][/math][br][br]Im folgenden Applet ist die graphische Konstruktion des Geometrischen Mittels dargestellt.[br]Das Quadrat Q2 entspricht dem Geometrischen Mittel von Q1 und Q3. [br][br]Das Quadrat Q2 hat den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck R1.[br]Das Größenverhältnis von Q1:Q2 ist das gleiche wie Q2:Q3.
Zeige, dass die obige Formel (1) gilt. Benutze dafür die rekursiven Eigenschaft für Geometrischen Folgen[br][math]a_{i+1}=a_i\cdot q[/math].
[math]\sqrt{a_{i-1}\cdot a_{i+1}}=\sqrt{a_{i-1}\cdot a_i\cdot q}=\sqrt{a_{i-1}\cdot a_{i-1}\cdot q\cdot q}=\sqrt{a^2_{i-1}\cdot q^2}=a_{i-1}\cdot q=a_i[/math]
Aus dem geometrischen Mittel folgt auch, dass jede Folge nur eine Teilfolge einer noch kleinschrittigeren Geometrischen Folge ist.[br]Beim Übergang von Folgen zu den stetigen Funktionen erhält man aus den Geometrischen Folgen die Exponentialfunktionen.
Eine Oktave ist ein Intervall zwischen zwei Tönen mit einem Frequenzverhältnis von 2:1.[br]Der Kammerton ist festgelegt auf [math]a'=440[/math]Hertz. [br]Eine Oktave tiefer liegt die Frequenz bei [math]a=220[/math]Hertz. [br]Eine Oktave höher liegt die Frequenz bei [math]a''=880[/math]Hertz.[br]Berechne das Frequenzverhältnis des Intervalls, welches die Oktave gleichstufig halbiert.[br][br](Das gesuchte Intervall wird auch Halboktave oder Tritonus genannt und liegt zwischen der Quarte mit einem Frequenzverhältnis von 4:3 und der Quinte mit einem Frequenzverhältnis von 3:2.)
[math]t=\sqrt{a\cdot a'}=\sqrt{220\cdot440}=\sqrt{220\cdot220\cdot2}=\sqrt{2}\cdot220[/math][br][br]Das Frequenzverhältnis des gleichstufigen Tritonus liegt bei [math]\sqrt{2}:1[/math], denn [math]\left(\sqrt{2}:1\right)^2=2:1[/math].
Wir wollen eine gleichstufige Stimmung bekommen und suchen dafür das richtige Stimmungsverhältnis. Wir wissen schon, dass eine Oktave 12 Halbtonschritte umfasst. Jeder Halbtonschritt soll also das gleiche Frequenzverhältnis haben und 12 Halbtonschritten sollen zusammen das Frequenzverhältnis 2:1 besitzen.[br][br]Wie ist das Frequenzverhältnis eines Halbtonintervalls?
[math]p^{12}:1=2:1[/math][br][math]\Longrightarrow p:1=\sqrt[12]{2}:1[/math][br][math]\Longrightarrow p:1\approx1.05946 :1[/math]