Círculo e circunferência
Neste livro será abordado as definições de Círculo e Circunferência e seus elementos.
Table of Contents
- Círculo
- O Círculo
- Setor Circular e sua relação com o Círculo
- Exercitando
- Circunferência
- Análise de circunferências e regiões circulares
- Circunferência
- Exercitando
O Círculo
Definição
O Círculo pode ser definido como o espaço geométrico que está dentro de uma circunferência. Seus elementos são: [br][b][br]Centro:[/b] Chama-se com a letra [i]C,[/i] é um ponto fixo interno equidistante dos pontos de um círculo.[br][b]Raio[/b] : É o segmento denominado com a letra [i]r[/i] que une o centro [i]C[/i] do círculo com qualquer ponto do perímetro ou circunferência.[br][b]Diâmetro:[/b] É o segmento [i]D[/i] que passa pelo centro e une dois pontos do. Seu comprimento é o dobro do raio.[br][b]Curda:[/b] É um segmento que une dois pontos no perímetro do círculo sem passar pelo centro.[br][b]Tangente[/b]: É uma linha que toca um único ponto em comum no perímetro do círculo e é perpendicular ao raio.[br][b]Secante[/b] : É a reta que corta o perímetro da circunferência em dois pontos.[br]
Círculo
Practicando
Vamos a praticar e reconhecer cada um dos elementos que fazem parte do Círculo
Análise de circunferências e regiões circulares
Circunferência
[justify] No cotidiano vemos circunferências e suas variações em todos os lugares e situações. Podemos não ter conhecimento da quantidade de estudos que elas proporcionam e proporcionaram a matemáticos do mundo inteiro. Há mais de 2000 anos já era estudada, mas durante o século XVII os estudiosos Pierre de Fermat e René Descartes contribuíram significativamente para o avanço dessa área de estudo com a geometria analítica.[br](A imagem abaixo representa o círculo).[/justify]
Centro
[justify] É o lugar geométrico (LG) equidistante de todos os pontos da circunferência. [br](A imagem abaixo demonstra onde localiza-se o centro do círculo.)[/justify]
Diâmetro
[justify] O diâmetro é o segmento de reta que passa pelo centro e toca dois pontos da circunferência. [br](A imagem abaixo monstra o diâmetro.)[/justify]
Raio
O raio é exatamente a metade do diâmetro. [br](A imagem abaixo demonstra onde localiza-se o raio.)
O que é o π (pi)?
[justify] Dividindo qualquer comprimento de circunferência pelo diâmetro da mesma, encontramos um valor aproximado para[b] π (pi)[/b], que é aproximadamente 3,14. Sendo assim, pi é uma constante, e, por isso, os valores do comprimento da circunferência e do seu raio são diretamente proporcionais.[/justify]
Perímetro do círculo
[justify] O perímetro é a medida do contorno de um determinado objeto. No círculo pode-se observar o seu perímetro quando realizamos um corte em qualquer parte dele e o esticamos. Depois disso, basta medir o comprimento. Entretanto, para matematicamente calcular o comprimento de qualquer circunferência, é necessário saber o raio da mesma. Conhecendo esse valor, o comprimento da circunferência é dado pelo dobro do raio(diâmetro) multiplicado por 3,14 (π). Logo, teremos a fórmula C= [math]2.R.\pi[/math] ou C=[math]D.\pi[/math] [br](A imagem abaixo encontra-se fora de escala, meramente ilustrativa.)[/justify]
Sobre π e sua aplicação a qualquer circunferência
Atividade prática: encontrando π
[justify][b]1. (Competência de área 2: utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela) [/b]Em uma determinada praça circular de diâmetro 1km , há uma pista de caminhada que se estende por toda a borda da praça. Com base nas informações, determine o comprimento da pista de caminhada em metros. (dados: utilize [math]\pi[/math]=3,14)[/justify]
Área
[justify]A [b]área do círculo[/b] é diretamente proporcional ao quadrado do raio, que se dá pela distância do centro da circunferência e a sua extremidade. Calcula-se a área do círculo quando se utiliza a expressão matemática que relaciona o raio e a constante das circunferências ou seja π. Logo teremos a fórmula A=[math]\pi R[/math][sup]2 [/sup][/justify][sup][/sup]
[justify][b]2. (Competência de área 2: utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela)[/b] Pizza é uma preparação culinária que consiste em um [b]disco[/b] de massa fermentada de farinha de trigo, coberto com molho de tomate e os ingredientes variados que normalmente incluem algum tipo de queijo, carnes preparadas ou defumadas e ervas,tudo assado em forno. Considerando que uma pizza tradicional grande possui [b]35 cm[/b] de raio e uma pizza tradicional pequena apresenta[b] 25 cm[/b], determine a[b] diferença[/b] entre a área das duas pizzas.[/justify]
[justify][b]3. (Competência de área 2: utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela)[/b] De acordo com os ensinamentos supracitados, determine a [b]razão[/b] entre a [b]área[/b] e o [b]perímetro[/b] de uma circunferência de raio R.[/justify]
Setor circular
[justify]O [b]setor circular[/b] é uma porção do círculo limitada por um ângulo e dois raios, podendo variar de tamanho dependendo do seu ângulo. Podemos associá-lo a uma fatia de pizza. Uma maneira muito simples de achar o valor de sua área é calculando a área total do círculo, relacionando-a a 360°, que correspondem a um círculo completo. A partir daí, você monta uma regra de três com o ângulo correspondente ao setor. [/justify]Observe:
A fatia de uma pizza é um setor circular[br][size=50](https://goo.gl/images/uSTZKf)[/size]
[justify][b]4. (Competência da área 2: Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma)[/b]Um fazendeiro possui um terreno circular de 20 metros de diâmetro. Ele quer trocar a grama de um setor de 30º. Sabendo que cada metro quadrado de grama nova custa 75 reais, quanto custaria para realizar essa troca? (use π=3)[/justify]
Coroa circular
[justify]A [b]coroa circular[/b] é uma região demarcada por dois círculos concêntricos (que possuem o mesmo centro). A coroa circular pode ser relacionada ao pneu (parte emborrachada) da roda de um automóvel. Um jeito simples de calculá-la é achando as áreas dos dois círculos, e depois subtraindo a área do círculo maior pela área do menor. Observe:[/justify][justify][/justify]
O pneu de um carro é uma coroa circular[br][size=50](https://goo.gl/images/tqgKvP)[/size]
[justify][b]5. (Competência da área 2: Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma)[/b]Um fazendeiro possuía um terreno circular de raio 20 metros. Ele ia se mudar e decidiu dividir essa área entre seus dois filhos. Ao mais novo, deu uma região circular de 16 metros de diâmetro, concêntrica ao terreno total. O seu filho mais velho recebeu o resto do terreno. Quantos metros quadrados de terra recebeu o primogênito? (use π =3)[/justify]
Relações métricas na circunferência
[justify] Traçando segmentos em relação a uma circunferência, são apresentadas relações métricas entre eles. Para entender as relações, é necessário conhecer os seguintes conceitos:[/justify][list][*][b]Corda[/b]: segmento de reta que une dois pontos da circunferência.[/*][*][b][/b][b]Segmento secante[/b]: segmento que toca a circunferência em dois pontos sem que ambas as extremidades dele pertençam à circunferência.[/*][*][b][/b][justify][b]Segmento tangente[/b]: segmento que toca a circunferência em apenas um ponto.[/justify][/*][/list]
Relação entre cordas
[justify]Ao traçar duas cordas pertencentes a uma mesma circunferência de forma a se cruzarem, formamos quatro segmentos. Completando esses quatro segmentos para formar triângulos, achamos os triângulos AED e CEB, que são semelhantes por apresentarem dois ângulos congruentes, de mesma medida.[/justify]
Sabendo que são semelhantes, podemos formar proporções entre seus lados, chegando a:[br]Segmento [math]\overline{AE}[/math]/ Segmento [math]\overline{CE}[/math] = Segmento [math]\overline{DE}[/math]/ Segmento [math]\overline{BE}[/math][br][br]Usando a propriedade dos meios pelos extremos, encontra-se a seguinte relação:[br][b]Segmento [math]\overline{AE}[/math] x Segmento [math]\overline{BE}[/math] = Segmento [math]\overline{CE}[/math] x Segmento [math]\overline{DE}[/math][/b][br]
Relação entre cordas
6. (Competência da área 2: Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma) Utilize essa figura para responder a questão a seguir.
Com base na figura acima, encontre o valor de x.[br]
Relação entre segmentos secantes.
Na circunferência seguinte, pode-se observar duas secantes traçadas a partir de um mesmo ponto P.[br]Um segmento de reta secante [math]\overline{PA}[/math], a parte externa desse segmento é [math]\overline{PB}[/math][br]Um segmento de reta secante[math]\overline{PC}[/math], a parte externa desse segmento é [math]\overline{PD}[/math] [br][br][br]
Relação entre segmentos secantes
Relação entre secante e tangente.
[justify][/justify][justify]Nesta circunferência, pode-se observar dois segmentos, um segmento de reta secante e um tangente, que foram traçados a partir de um mesmo ponto P. [math]\overline{PA}[/math]é um segmento de reta secante,[math]\overline{PB}[/math] parte externa desse segmento. [math]\overline{PC}[/math] é um segmento de reta tangente.[/justify]A partir desses três segmentos pode-se estabelecer uma[br]relação métrica como veremos a seguir.[br]