Sejam os números reais positivos [i]a[/i] e [i]b[/i], com [math]a\ne1[/math]. Denomina-se logaritmo de [i]b [/i]na base [i]a[/i] igual ao expoente [i]c[/i], tal que [math]b=a^c[/math][i], [/i]isto é:[i]a[math]\ne[/math][/i][center][br][math]log_ab=c\Longleftrightarrow a^c=b[/math],[/center]onde [i]a [/i]é a base do logaritmo, [i]b[/i] é o logaritmando e [i]c[/i] é o logaritmo.[br][br][b]Para Refletir:[/b] Perceba que logaritmo é um expoente.[br][br] Nessa equivalência temos:[br][table][tr][td][b]Forma Logarítmica[/b][/td][td][b]Forma Exponencial[/b][/td][/tr][tr][td][center][math]log_ab=c[/math][br][b]c:[/b] logaritmo[br][b]a: [/b]base do logaritmo[br][b]b: [/b]logaritmando[/center][/td][td][center][math]a^c=b[/math][br][b]c:[/b] expoente[br][b]a:[/b] base da potência[br][b]b: [/b]potência[/center][/td][/tr][/table][br][b][color=#ff0000]Para Refletir:[/color] [/b]Quando falamos [i]logaritmo[/i] estamos nos referindo a um número.[br][br]Vejamos alguns exemplos:[br]a)[math]log_381=4\Longleftrightarrow3^4=81[/math][br]b)[math]log_{\frac{1}{2}}32=-5\Longleftrightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}=32[/math][br]c)[math]log_{\sqrt{5}}5=2\Longleftrightarrow\left(\sqrt{5}\right)^2=5[/math][br]d)[math]log_81=0\Longleftrightarrow8^0=1[/math][br][br][b]Observações:[/b] Quando a base do logaritmo for 10, podemos omiti-la. Assim, [math]log_{ }2[/math] é o logaritmo de 2 na base 10. Aos logaritmos de base 10 damos o nome de [i]logaritmos decimais[/i] ou [i]de Briggs.[/i]

[justify] Vejamos a quatro principais propriedades dos logaritmos:[br][br][/justify][list][*][i]Logaritmo de um produto:[/i] [math]log_a\left(M.N\right)=log_aM+log_aN[/math];[/*][/list] "Numa mesma base, o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números."[br][br][b][color=#ff0000]Para refletir:[/color] [math]log\left(3.2\right)[/math][/b] não é o mesmo que [math]log3.2[/math].[br][br][b]Observação:[/b] Essa propriedade de transformar produtos em somas foi a motivação original para a introdução dos logaritmos no século XVII, no intuito de simplificar cálculos.[br][br][list][*][i]Logaritmo de um quociente: [math]log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN[/math] e, caso particular, [math]log_a\frac{1}{N}=-log_aN[/math];[/i][/*][/list] "Numa mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números."[br][br][list][*][i]Logaritmo de uma potência:[/i] [math]log_aM^N=N.log_aM[/math];[/*][/list] "Numa mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência."[br] Podemos aplicar esta propriedade no logaritmo de uma raiz (quando existir):[br]        [math]log_a\sqrt[N]{M}=log_aM^{\frac{1}{N}}=\frac{1}{N}.log_aM[/math][br][br][list][*][i]Mudança de base:[/i] Para escrever o [math]log_bN[/math] usando logaritmos na base [b]a[/b], por exemplo, realizamos a mudança de base: [math]log_bN=\frac{log_aN}{log_ab}[/math];[/*][/list] [b]Observações:[/b] Nessa propriedade de mudança de base, fazendo N=a, temos um caso importante:[br][math]log_ba=\frac{log_aa}{log_ab}=\frac{1}{log_ab}[/math]. Então podemos escrever que, quando existirem os logaritmos envolvidos:[br]        [math]log_ba=\frac{1}{log_ab}[/math] ou [math]log_ba.log_ab=1[/math].[br][color=#ff0000][br][b]Para Refletir:[/b][/color] Quando existirem, [math]log_ba[/math] e [math]log_ab[/math] serão números inversos.

Para todo número real positivo [math]a\ne1[/math], a função exponencial [math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}_+^{\ast}[/math] dada por [math]f\left(x\right)=a^x[/math] é uma correspondência biunívoca entre [math]\mathbb{R}[/math] e [math]\mathbb{R}_+^{\ast}[/math]. Ela é crescente se [math]a>1[/math], decrescente se [i]0 e tem a seguinte propriedade:[br][br][/i][math]f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right).f\left(x_2\right)[/math], ou seja, [math]a^{x_1+x_2}=a^{x_1}.a^{x_2}[/math][i].[br][/i][br][color=#ff0000][b]Para Refletir:[/b] [/color]Dizer que f(x) é uma correspondência biunívoca é o mesmo que dizer que [b]f[/b] é uma função bijetiva.[br][br] Essas considerações garantem que [b]f[/b] possui uma função inversa.

A inversa da função exponencial de base [b]a[/b] é a função [math]log_a:\mathbb{R}_+^{\ast}\longrightarrow\mathbb{R}[/math], que associa a cada número real positivo [b]x[/b] na base [b]a[/b], com [b]a[/b] real positivo e [math]a\ne1[/math].[br] Observe que [math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}_+^{\ast}[/math], dada por [math]f\left(x\right)=a^x[/math], tem a propriedade [math]f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right).f\left(x_2\right)[/math], ou seja, [math]a^{x_1+x_2}=a^{x_1}.a^{x_2}[/math]. A sua inversa [math]g:\mathbb{R}^{\ast}_+\longrightarrow\mathbb{R}[/math], dada por [math]g\left(x\right)=log_ax[/math], tem a propriedade [math]log_a\left(x_1.x_2\right)=log_ax_1+log_ax_2[/math].[br][br] Seu domínio natural é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o conjunto de todos números reais.[br][br] Como a função logarítmica é a inversa da função exponencial, temos:[br][math]a^{log_ax}=x[/math] e [math]log_a\left(a^x\right)=x[/math], para todo [math]x\in\mathbb{R}[/math]. Assim, [math]log_ax[/math] é o expoente ao qual se deve elevar a base [b]a[/b] para obter o número [b]x[/b], ou seja, [math]y=log_ax\Longleftrightarrow a^y=x[/math].[br] As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base [b]a[/b] é maior do que 1; particularmente, as de base 10 (logaritmos decimais), as de base 2 (logaritmos binários) e as de base [b]e[/b] (logaritmos naturais). São exemplos de função logarítmica as funções de [math]\mathbb{R}_+^{\ast}[/math] em [math]\mathbb{R}[/math] definidas por:[br][list][*][math]f\left(x\right)=log_2x[/math][br][/*][*][math]g\left(x\right)=log_{10}x=logx[/math][br][/*][*][math]h\left(x\right)=log_ex=\ell nx[/math][br][/*][*][math]i\left(x\right)=log_{\frac{1}{4}}x[/math][br][/*][/list]