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Funções Logarítmicas
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1. Definição de Logaritmo
- Definição de Logarítmo
- Condições de existência de logaritmos
- Consequências da definição de logaritmo
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2. Propriedades Operatórias dos Logaritmos
- Propriedades dos logaritmos
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3. Função Logarítmica
- Definição da função logarítmica
- Gráfico da função logarítmica
- Uma relação importante
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Funções Logarítmicas
Kaynan Casali Vieira, Jul 9, 2017
Table of Contents
- Definição de Logaritmo
- Definição de Logarítmo
- Condições de existência de logaritmos
- Consequências da definição de logaritmo
- Propriedades Operatórias dos Logaritmos
- Propriedades dos logaritmos
- Função Logarítmica
- Definição da função logarítmica
- Gráfico da função logarítmica
- Uma relação importante
Definição de Logarítmo
Sejam os números reais positivos a e b, com . Denomina-se logaritmo de b na base a igual ao expoente c, tal que , isto é:a
Para Refletir: Quando falamos logaritmo estamos nos referindo a um número.
Vejamos alguns exemplos:
a)
b)
c)
d)
Observações: Quando a base do logaritmo for 10, podemos omiti-la. Assim, é o logaritmo de 2 na base 10. Aos logaritmos de base 10 damos o nome de logaritmos decimais ou de Briggs.
,
onde a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e c é o logaritmo. Para Refletir: Perceba que logaritmo é um expoente. Nessa equivalência temos:| Forma Logarítmica | Forma Exponencial |
| c: logaritmo a: base do logaritmo b: logaritmando | c: expoente a: base da potência b: potência |
Propriedades dos logaritmos
Vejamos a quatro principais propriedades dos logaritmos:
- Logaritmo de um produto: ;
- Logaritmo de um quociente: e, caso particular, ;
- Logaritmo de uma potência: ;
- Mudança de base: Para escrever o usando logaritmos na base a, por exemplo, realizamos a mudança de base: ;
Definição da função logarítmica
Função Exponencial
Para todo número real positivo , a função exponencial dada por é uma correspondência biunívoca entre e . Ela é crescente se , decrescente se 0 e tem a seguinte propriedade:
, ou seja, .
Para Refletir: Dizer que f(x) é uma correspondência biunívoca é o mesmo que dizer que f é uma função bijetiva.
Essas considerações garantem que f possui uma função inversa.
Função Logarítmica
A inversa da função exponencial de base a é a função , que associa a cada número real positivo x na base a, com a real positivo e .
Observe que , dada por , tem a propriedade , ou seja, . A sua inversa , dada por , tem a propriedade .
Seu domínio natural é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o conjunto de todos números reais.
Como a função logarítmica é a inversa da função exponencial, temos:
e , para todo . Assim, é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, .
As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base a é maior do que 1; particularmente, as de base 10 (logaritmos decimais), as de base 2 (logaritmos binários) e as de base e (logaritmos naturais). São exemplos de função logarítmica as funções de em definidas por:
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