0

Modelar con GeoGebra

Gustavo Aguilar, Feb 21, 2017

En este libro se muestran ejemplos de modelaciones de objetos reales usando GeoGebra y herramientas de cálculo.

Introdución
1. Presentación
2. Modalidad de trabajo
Modelar partiendo de una imagen
1. Modelar desde una imagen
2. Usando integrales
Modelar partiendo desde un conjunto de datos.
1. Modelar un conjunto de datos.
2. Modelo logístico
Manos a la obra
1. Puente Vecchio.
2. Ventas ficticias
Ejemplos
1. Copia de Ejemplos del trabajo de estudiantes.

Introdución

1. Presentación
2. Modalidad de trabajo

Presentación

[justify]El Instituto GeoGebra de Uruguay está integrado por docentes de matemática de educación media, de formación de profesores y estudiantes de profesorado. Buscamos ser un apoyo a la comunidad de GeoGebra de Uruguay, a través de la organización de talleres, cursos y materiales que faciliten la incorporación de GeoGebra a las aulas de matemática. Estamos particularmente interesados en la reflexión didáctica asociada a la enseñanza de la matemática con GeoGebra.[/justify]

Este taller

[justify]En este taller se mostrarán algunos ejemplos del uso de GeoGebra para modelar algunos objetos de la "vida real" y también dado un conjunto de datos se podrá modelizar con alguna función.[/justify]

1.2.

2.

Modelar partiendo de una imagen

1. Modelar desde una imagen
2. Usando integrales

2.1.

Modelar desde una imagen

[justify]Una buena manera para modelar un objeto es partir desde una imagen de nuestra vida cotidiana. En este caso podemos ver una relación entre la arquitectura y la Matemática ya que modelaremos el techo del aeropuerto internacional de Carrasco. [br][br]Cuando hacemos un proyecto en Matemática no importa solamente la parte puramente matemática si no que hay una parte de análisis que es muy importante.[br][br]Vamos a crear una introducción que explique porque queremos modelar este techo además de agregar información sobre el aeropuerto para situar el lector. Además un plan de trabajo, que podrá ser modificado en el proceso, pero será una guía de lo que queremos lograr.[br][/justify]

[justify]En el siguiente applet:[br]Inserta 7 puntos en el techo del aeropuerto Usando la herramienta: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon] [br]Luego copia las coordenadas x e y en la hoja de cálculo que aparece al costado.[br][br]La coordenada x en la columna A y la coordenada y en la columna B. (hay un ejemplo ya hecho)[/justify][br]

Luego selecciona ambas columnas (A y B) y presiona la herramienta: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_twovarstats.png[/icon](Análisis de dos variables)[br]Selecciona el modelo que te parezca más adecuado para este techo.[br][br]Ahora introduce el modelo encontrado en la barra de entrada de GeoGebra y observa si el modelo se ajusta al techo deseado. Ingrésalo en la barra de entrada como una función usa [math]f\left(x\right)=[/math] no uses y=.

Algo así debe ser tu resultado:

[justify]Existe una forma de obtener este modelo sin el uso de la hoja de cálulo, Una vez que obtenemos las coordenadas de los puntos sobre el techo podemos hacer un avance algebraico. [br][br]Por ejemplo si pensamos que una parábola puede modelar este techo, podemos usar ecuaciones simultáneas para encontrar los coeficientes o podríamos pensar en el vértice como se muestra a continuación.[br][br]Estimando el vértice de nuestra parábola y otro punto podemos usar la siguiente forma de escribir nuestra parábola para obtener los coeficientes deseados. [math]f\left(x\right)=a\left(x-h\right)^2+k[/math] donde [math]h[/math] y [math]k[/math] son las coordenadas del vértice.[br][br]Ejemplo:[br]Vértice estimado: (7.15,1.67)[br][br]Otro punto por el cual queremos que pase nuestra parábola: C (1.72, 1.16)[br][br][math]f\left(x\right)=a\left(x-h\right)^2+k[/math][br][br]Sustituimos las coordenadas del vértice:[br][br] [math]f\left(x\right)=a\left(x-7.15\right)^2+1.67[/math][br][br]Sustituimos las coordenadas del punto C:[br][br][math]1.16=a\left(1.72-7.15\right)^2+1.67[/math][br][br][br]Resolvemos para obtener [math]a[/math]:[br][math]1.16-1.67=a\left(1.72-7.15\right)^2[/math][br][math]-\frac{0.51}{\left(1.72-7.15\right)^2}=a[/math][br][br][math]-0.0173\approx a[/math][br][br][br][math]Modelo:f\left(x\right)=-0.0173\left(x-7.15\right)^2+1.67[/math][/justify]

Debería verse algo asi:

[justify]Los alumnos pueden ir dejando registro de todo esto en un documento de texto en donde incluirán Un objetivo para este trabajo, introducción, recortes de pantalla, las ecuaciones y las conclusiones a las que llegaron.[br][br][/justify]

Usamos más Matemática

[justify]Para poder usar más herramientas matemáticas en nuestro trabajo podemos pedirle a los alumnos que encuentren la cantidad de vidrio que se usó en esta fachada. Para esto deberán encontrar el modelo para la parte inferior del techo, luego podrán encontrar las raíces y calcular el integral de esta función para obtener la cantidad de vidrio utilizada. Obviamente esto no será una medida real ya que en la imagen hay un factor de escala. Encontrando ese factor de escala y multiplicando el área obtenida por el cuadrado del factor de escala se podrá obtener una aproximación de la cantidad de vidrio que buscamos.[br][br]Luego de realizar esto pueden verificar sus cálculos con los comandos de GeoGebra "Raíces" e "integral" .[br][b][br][/b]Toda esta información pueden agregarla a su documento de texto e incluir una conclusión final que muestre reflexiones sobre el proceso transcurrido[b]. [/b]Pueden ser preguntas guía para esta parte las siguientes: Hay alguna relación entre la Matemática y la Arquitectura? ¿Qué limitaciones tiene esta forma de trabajo? ¿Cómo se puede mejorar este proyecto? ¿Qué se aplicó del curso? ¿De qué manera? ¿Qué sentiste al realizarlo?[b][br][/b][br][/justify]

2.2.

3.

Modelar partiendo desde un conjunto de datos.

1. Modelar un conjunto de datos.
2. Modelo logístico

3.1.

Modelar un conjunto de datos.

Existen varias maneras de modelar un conjunto de datos. En este capítulo veremos como GeoGebra tiene potentes herramientas para modelar un conjunto de datos y como integrar esto en nuestros cursos.

Comenzamos trabajado...

En el applet que está debajo aparecen las cotizaciones de el Dolar referente al Peso Uruguayo en los meses que se indican.[br][br]Selecciona las columnas B y C y luego selecciona CREA > LISTA DE PUNTOS. Aparecerán los puntos de coordenadas [math]\left(B_i,C_i\right);i=1\cdots14[/math][br][br]¿Qué modelo matemático te parece que se adapta más a esta lista de datos?[br][br]Selecciona otra vez las columnas B y C y con la herramienta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_twovarstats.png[/icon] busca el modelo que te parezca más adecuado.[br][br]Ahora copia ese modelo en la barra de entrada y verifica que se adapte a los datos.

Preguntas:

Predice el tipo de cambio en Diciembre 2016. [br]

Comenta sobre las limitaciones del modelo.

Ahora busca un modelo con la función seno: ([math]Asen\left(Bx-C\right)+D[/math] ) para estos datos. Utiliza las coordenadas que ofrece GeoGebra pero NO las herramientas de GeoGebra para el análisis de datos.[br][br]Introduce el modelo aquí debajo y pruebalo en el applet de arriba.

En julio 2016 el tipo de cambio ¿Crece o decrece?[br][br]Calcula la velocidad de Crecimiento/decrecimiento en julio 2016.

3.2.

4.

Manos a la obra

1. Puente Vecchio.
2. Ventas ficticias

4.1.

Puente Vecchio.

Busca una imagen del puente Vecchio en Florencia, Italia[br][br]Inserta la imagen en GeoGebra y ubícala de manera que sea conveniente para trabajar con ella. Herramienta: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_image.png[/icon] [br][br]Ponla como imagen de fondo. (propiedades de la imagen)[br][br]Busca un modelo para el arco central y encuentra el área que debe tener una bandera para cubrir ese arco.[br][br]Sabiendo que en la realidad ese arco central mide 30 metros en su parte más ancha calcula el área de la bandera a escala real.