BG W GuS 11 Mathematik - Einführungsphase Nds
Ein Onlinebuch als Ergänzung für Inhalte, die im Beruflichen Gymnasium Wirtschaft, - Ökotrophologie, - Sozialpädagogik und - Gesundheit in der 11ten Klasse in Niedersachsen unterrichtet werden müssen.
Table of Contents
- Mathematische Grundlagen
- Mathematische Grundlagen
- Statistik
- Statistik Vokabeln
- Grafische Darstellung statistischer Daten
- Mittelwerte, Lageparameter
- Die Standardabweichung
- Einführung Funktionen
- Einführendes Beispiel 2
- Bezeichnungen im Koordinatensystem
- Lineare Funktionen
- Einführung, Steigung, y-Achsenabschnitt
- Lineare Funktionen: Kosten, Erlös, Gewinn
- Ganzrationale Funktionen
- Was sind Potenzfunktionen?
- Verschieben und Strecken entlang der Achsen
- Definition ganzrationale Funktionen
- Differentialrechnung
- Einführung
- Aufgaben: Berechnen von Steigungen und Änderungsraten
- Funktionen analysieren mit Hilfe von Ableitungsfunktionen
- Zusammenfassung: Extrem- und Wendestellen
- Beispielrechnungen
- Wirtschaftsmodelle
- 1. Vokabeln: Kosten, Erlös, Gewinn, Monopol, Polypol
- 2. Monopol und Polypol
- 3. Marktgleichgewicht von Angebot und Nachfrage
- 4. Marktungleichgewichte
Mathematische Grundlagen
Waum man nicht durch Null teilen darf
[url=https://www.geogebra.org/m/fqrd6bqm#material/zkz8s5re]Hier ist an einem Beispiel beschrieben, warum man nicht durch Null teilen darf. Würde man das zulassen, könnte man beweisen, dass 3 = 5 ist oder andere unsinnige Dinge. Wenn so etwas möglich wäre, dann könnte es keine sinnvolle Mathematik geben.[/url]
Bruchrechnung
Hier kann man spielerisch Bruchrechnung trainieren. Trainieren Sie jeden Tag so lange, bis Sie bei jeder Rechenoperation 10 Punkte erreicht haben, dann sollte es in weniger als 14 Tagen klappen mit der Bruchrechnung:[br][br][list][*][url=https://www.geogebra.org/m/dx7e45b2]Brüche addieren[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/aqkre5mf]Brüche subtrahieren[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/mz5pambe]Brüche multiplizieren[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/xbxfnqr3]Brüche dividieren[/url][br][/*][/list]
Lineare Gleichungen lösen
[url=https://www.geogebra.org/m/p5tvrv4d] Eine kurze Erklärung und ein Applet zum Üben.[/url]
Statistik Vokabeln
Statistik ist relevant
Egal, ob es um die Wirksamkeit eines Medikamentes, die Wetterdaten der letzten Jahre oder Jahrzehnte, die Ergebnisse von Klassenarbeiten oder um Wahlprognosen geht, all diese Fragen werden mit Statistik beantwortet. Wenn man etwas nicht genau beweisen oder berechnen kann, dann macht man eine Statistik. [br][br]Statistiken zu verstehen ist für mündige Bürger unverzichtbar. Parteien begründen ihre Wahlprogramme mit - auch mal fragwürdigen - Statistiken und Regierungen treffen Entscheidungen auf der Basis von Statistiken.[br][br]Dabei ist das Erstellen von Statistiken gar nicht so einfach: [br][list][*]Wie stellt man die Fragen, ohne eine bestimmte Antwort schon zu bevorzugen?[/*][*]Welche Fragen sind zur Lösung eines Problems unverzichtbar?[/*][*]usw.[/*][/list][br]Und wie jedes Gebiet der Wissenschaft hat auch Statistiken sein "Fachlatein", also Fachwörter, mit denen Statsitiken beschrieben und analysiert. Sehen wir uns ein Beispiel an:[br][table][tr][td][color=#a64d79][b]Name[/b][/color][/td][br] [td][color=#a64d79][b]Alter in Jahren[/b][/color][/td][br] [td][color=#a64d79][b]Größe in Meter[/b][/color][/td][br] [td][color=#a64d79][b]Funktion[/b][/color][/td][br] [td][color=#a64d79][b]Haarfarbe[/b][/color][/td][br] [/tr][br] [tr][br] [td][color=#1e84cc]Asterix[/color][/td][br] [td]50[/td][br] [td]1,65[/td][br] [td]Krieger[/td][br] [td]blond[/td][br] [/tr][br] [tr][br] [td][color=#1e84cc]Obelix[/color][/td][br] [td]48[/td][br] [td]1,9[/td][br] [td]Krieger[/td][br] [td]rot[/td][br] [/tr][br] [tr][br] [td][color=#1e84cc]Miraculix[/color][/td][br] [td]80[/td][br] [td]1,85[/td][br] [td]Druide[/td][br] [td]weiß[/td][br] [/tr][br] [tr][br] [td][color=#1e84cc]Methusalix[/color][/td][br] [td]95[/td][br] [td]1,5[/td][br] [td]Rentner[/td][br] [td]weiß[/td][br] [/tr][br] [tr][br] [td][color=#1e84cc]Gutemine[/color][/td][br] [td]51[/td][br] [td]1,59[/td][br] [td]Frau vom Chef[/td][br] [td]bond [/td][br] [/tr][br] [tr][br] [td][color=#1e84cc]Idefix[/color][/td][br] [td]10[/td][br] [td]0,4[/td][br] [td]Hund von Obelix[/td][br] [td]weiß[/td][/tr][/table]
Vokabeln
Hier wurden wichtige Personen eines bekannten Comics nach unterschiedlichen [b]Merkmalen[/b] befragt.[br][br][color=#980000][b]Urliste[/b][/color]: Die Urliste ist die noch unsortierte und unbearbeitete Liste der erhobenen Daten.[br][br][color=#980000][b]Merkmal[/b][/color]: Ein Merkmal ist in der Statistik das, wonach gefragt wird, also Alter, Größe usw.[br]Man unterscheidet [b]quantitative Merkmale[/b], und [b]qualitative Merkmale[/b]:[br][color=#980000][b]Quantitative Merkmale[/b][/color]: Merkmale, die mit Zahlen beschrieben werden können, mit denen man auch rechnen kann, also eine doppelt so hohe Zahl bedeutet auch die doppelte Menge (das ist z.B. bei Schulnoten nicht so). Man sagt auch, man verwendet zur Beschreibung von Merkmalen die [color=#1e84cc][b]metrische Skala[/b][/color].[br][color=#980000][b]Qualitative Merkmale[/b][/color]: Qualitative Merkmale sind Farben, Schulnoten, Monate, Geschlecht und alles andere, was sich nicht eindeutig durch einen Zahlenwert beschreiben lässt. Merkmale, die man ordnen kann, werden mit einer [b][color=#1e84cc]Ordinalskala[/color][/b] bewertet. Das sind zum beispiel Schulnoten oder Monatsnamen. Dinge wie GEschlecht oder Religion können nicht in eine sinnvolle Reihenfolge gebracht werden. Man kann sie höchstens nach dem Namen sortieren. Diese werden daher von der [color=#1e84cc][b]Nominalskala[/b][/color] beschrieben.[br][br][color=#980000][b]Merkmalsträger[/b][color=#000000]: Ein[/color][/color] Merkmalsträger ist die Person oder das Land oder der Gegenstand von dem Merkmale gesammelt werden sollen. Hier sind es Asterix, Obelix, usw. [br][br][color=#980000][b]Merkmalsausprägung[/b][/color]: Eine Merkmalsausprägung ist das, was als Antwort in der Urliste steht. Also beim Merkmal Alter die Anzahl der Jahre oder beim Merkmal Haarfarbe könnte die Merkmalsausprägung "blond" heißen.[br][br]Als [color=#980000][b]Grundgesamtheit[/b][/color] bezeichnet man zum Beispiel alle Personen, die man befragen [b][i]könnte[/i][/b]. Meistens dauert es zu lange alle zu befragen, und man begnügt sich mit einem Teil der Grundgesamtheit, einer [color=#980000][b]Stichprobe[/b][/color].
Häufigkeiten
In der Statistik unterscheidet man zwischen absoluten und relativen Häufigkeiten.[br][color=#980000][b]Absolute Häufigkeit[/b][/color] [math]H(x_i)[/math]: Dies ist die Anzahl der Merkmalsträger mit einer bestimmten Merkmalsausprägung [math]x_i[/math]. In einer Schulklasse können zum Beispiel [math]5[/math] Personen sein, die größer als [math]1,90m[/math] sind. Dann ist [math]5[/math] die absolute Häufigkeit ([math]H(>1,90)=5[/math]).[br][color=#980000][b]Relative Häufigkeit[/b][/color] [math]h(x_i)[/math]: Die relative Häufigkeit setzt die absolute Häufigkeit in das Verhältnis zur Grundgesamtheit. Sie wird meistens in Prozent angegeben. Wenn in einer Klasse [math]n=20[/math] Personen sind und 5 Personen sind größer als 1,90 m ([math]H(>1,90)=5[/math]), dann ist die relative Häufigkeit [math]h(>1,90)=\frac{5}{20}=25\%[/math]. Die relative Häufigkeit ist also [math]h(x_i)=\frac{\text{Absolute Häufigkeit von $x_i$}}{\text{Grundgesamtheit}}[/math]
Berechnen Sie die relative Häufigkeit
Beim Basketballspiel um die Bronzemedallie besiegt die deutsche Nationalmanschaft Polen mit 82:69. Der deutsche NBA-Star Dennis Schröder steuerte 26 Punkt zum Sieg bei. Berechne die relative Häufigkeit: Wie viel Prozent der Punkte der deutschen Mannschaft wurden von Dennis Schröder erzielt?
Berechnen einer absoluten Häufigkeit
Bei der Basketball-EM 2022 in Deutschland gilt der Deutsche Johannes Voigtmann als "Man of the match". Neben seiner sehr erfolgreichen Abwehrarbeit warf er bei dem 82:69-Sieg [math]17\%[/math] der deutschen Punkte. Berechne die absolute Häufigkeit: Wie viel Punkte hat er in diesem Spiel erzielt?
Einführendes Beispiel 2
Funktionen beschreiben eindeutige Abhängigkeiten
Je höher wir auf einen Berg steigen, desto niedriger wird der Luftdruck. Der Luftdruck [math]L[/math] ist als abhängig von der Höhe [math]h[/math] auf der wir uns befinden. Um das sichtbar zu machen schreibt man auch [math]L(h)[/math], sprich "L von h". [math]L(h)[/math] ist die Funktion des Luftdruckes in Abhängigkeit von der Zeit. [br]Wenn Sie mit dem Fahrrad fahren, dann hängt die zurückgelegte Strecke [math]s[/math] von der Zeit [math]t[/math] ab. Man kann daher die Funktion [math]s(t)[/math] formulieren. Wenn man eine feste Zeit voraussetzt, dann können Sie auch mehr Strecke zurücklegen, indem Sie schneller fahren. Mit einer höheren Geschwindigkeit [math]v[/math] kann man eine größere Strecke [math]s[/math] zurücklegen. Daher kann man auch eine Funktion [math]s(v)[/math] formulieren, die Strecke in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit.[br][br]Was heißt "eindeutige Abhängigkeit"?[br]Wir können den Tag über die Windstärke [math]W[/math] messen. Zu jedem Zeitpunkt [math]t[/math] lässt sich die Windstärke messen und ich kann am Ende des Tages eindeutig sagen, welche Windstärke wir zu welcher Zeit hatten. Man kann also jeder TAgeszeit [b]eindeutig[/b] eine Windstärke zuordnen. Allerdings kann ich diese Funktion [math]W(t)[/math] nicht umkehren. Wenn wir eine Windstärke kennen, dann können wir nicht daraus schließen, wie spät es war, als der Wind so stark wehte. Es ist gut möglich, dass der Wind um 10 Uhr und um 15.35 Uhr jeweils gleich stark war. Dass heißt wenn man einer jeden Windstärke eine Uhrzeit zuordnet, dann ist dies keine eindeutige Zuordnung und daher kann "Uhrzeit in Abhängigkeit von der Windstärke" im mathematischen Sinne keine Funktion sein.
Abhängige Größen und unabhängige Größen.
Oben ist als Beispiel die Funktion [math]W(h)[/math] genannt, also "Windstärke in Abhängigkeit von der Zeit". Ich kann zu jeder beliebigen Uhrzeit eine Windstärke bestimmen. Daher ist die Zeit in diesem Beispiel eine [color=#980000][b]unabhängige Variable[/b][/color]. Die Windstärke ist die [color=#980000][b]abhängige Variable[/b][/color], denn wenn die Uhrzeit einmal feststeht, dann kann man (rückblickend) eindeutig sagen, wie stark der Wind war.
Darstellung oder Beschreibung von Funktionen
In der Mathematik verwendet man drei Arten von Darstellungen für Abhängigkeiten: [br][list][*]tabellarische Darstellung in Form einer [color=#980000][b]Wertetabelle[/b][/color][/*][*]grafische Darstellung in Form eines [color=#980000][b]Funktionsgrafen[/b][/color][/*][*]mathematische Darstellung in Form einer [color=#980000][b]Funktionsgleichung[/b][/color][/*][/list]Jede dieser Darstellungen hat seine Vorteile: [br][list][*]Bei [i]Experimenten[/i] schreibt man oft zuerst eine Wertetabelle auf. [/*][/list][list][*]Um die Ergebnisse zu [i]veranschaulichen[/i] eignet sich am besten der Funktionsgraf.[/*][*]Wenn eine mathematische Funktion bekannt ist, dann kann man auch solche Werte der abhängigen Variablen [i]berechnen[/i], die man im Experiment gar nicht gemessen hat oder die man vielleicht sogar gar nicht messen kann.[/*][/list]
Beispiel Schmuckwürfel
Ein Baumarkt bietet zur Dekoration von Wintergärten Schmuckwürfel an. Diese bestehen aus Holz, haben einen dünnen Spiegel auf der Oberfläche und die Metallkanten sind dünn mit Gold belegt:[br]Der Hersteller braucht für die Kalkulation des Preises so eines Würfels einige Informationen:[br][list=1][*]Wie viel Meter der vergoldeten Kante werden benötigt?[/*][*]Wie viel Spiegelfläche wird benötigt (dabei wird angenommen, dass die Spiegel bis zur Würfelkante gehen)[/*][*]Wie viel Holz wird benötigt?[/*][/list]
Die Lösung:
Ein fleißiger Mitarbeiter berechnet die gesuchten Werte für verschiedene Würfelgrößen und macht daraus eine [color=#980000][b]Wertetabelle[/b][/color]:[br][table][tr][/tr][tr][td][math]x[/math][/td][td][math]L(x)[/math][/td][td][math]O(x)[/math][/td][td][math]V(x)[/math][/td][/tr][tr][td]0[/td][td]0[/td][td]0[/td][td]0[/td][/tr][tr][td]1[/td][td]12[/td][td]6[/td][td]1[/td][/tr][tr][td]2[/td][td]24[/td][td]24[/td][td]8[/td][/tr][tr][td]3[/td][td]36[/td][td]54[/td][td]27[/td][/tr][tr][td]4[/td][td]48[/td][td]96[/td][td]64[/td][/tr][tr][td]5[/td][td]60[/td][td]150[/td][td]125[/td][/tr][tr][td]6[/td][td]72[/td][td]216[/td][td]216[/td][/tr][tr][td]7[/td][td]84[/td][td]264[/td][td]343[/td][/tr][tr][td]8[/td][td]96[/td][td]384[/td][td]512[/td][/tr][/table]Sein Kollege macht ihm den Vorschlag: [i]Mache dir doch eine Gleichung für die Länge, die Oberfläche und für das Volumen. Dann kannst du auch Würfel mit allen anderen Kantenlängen berechnen[/i].[br]Gesagt getan, mit ein wenig Hintergrund wissen aus der Schule kommen folgende [color=#980000][b]Funktionsgleichungen[/b][/color] zu stande:[br][list][*]Länge aller Kanten des Würfels (Goldstreifen): [math]L(x)=12\cdot x[/math][/*][*]Oberfläche aller Seiten des Würfels (Spiegel): [math]O(x)=6\cdot x^2[/math][/*][*]Volumen des Würfels (Holz): [math]V(x)=x^3[/math][/*][/list]Der Vorgesetzte möchte lieber die Funktionsgrafen der drei Funktionen sehen. Er habe dann den besten Überblick, sagt er.[br][br]
Einführung, Steigung, y-Achsenabschnitt
Alle Funktionen, die einen geraden Funktionsgraphen haben, sind lineare Funktionen. Man kann sich also merken: [b]Lineare Funktionen kann man mit einem Lineal zeichnen[/b].[br]Die Funktionsgleichungen linearer Funktionen lassen sich alle in folgende Form bringen:[br][math]\bgcolor{#FFFFAA}{\Large\boxed{f(x)=m\cdot x + b}}[/math][br]Dabei stehen die Variablen [math]m[/math] und [math]b[/math] für beliebige Zahlen.[br]Die Funktionsgleichungen von linearen Funktionen können anfangs auch anders aussehen. Z.B. [math]g(x)=4\cdot(x-2)+1[/math] sieht ganz anders aus. Aber wenn man die Klammer auflöst und dann die Zahlen zusammenfasst, dann wird daraus: [math]g(x)=4\cdot x-7[/math]. Also ist in diesem Beispiel [math]m=4[/math] und [math]b=7[/math].[br][br]Probieren Sie im folgenden Arbeitsblatt aus, was mit dem Funktionsgraphen passiert, wenn man [math]m[/math] oder [math]b[/math] verändert. Sie können die Parameter mit den Schiebereglern verändern, oder Sie geben einen neuen Wert in die Eingabezeile ein, z.B. "[color=#45818e]m = - 4[/color]".
Der y-Achsenabschnitt b
Der Parameter [math]b[/math] gibt an, in welcher Zahl der Funktionsgraph die [math]y[/math]-Achse (die Ordinate) schneidet.
Die Steigung m
Die Steigung m wird genau so berechnet, wie man es im Straßenverkehr macht: Man zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck an den Graphen und dann rechnet man die Höhe des Dreiecks geteilt durch die Breite: [math]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math] . Da Steigung auf Verkehrsschildern immer in Prozent angegeben wird, ist hier [math]\Delta x=100[/math] (siehe die folgende Animation).
Steigungen und Funktionsgleichungen vom Funktionsgraphen ablesen
Den y-Achsenabschnitt [math]b[/math] kann man ganz einfach an der Ordinate (der y-Achse) ablesen. Aber wie liest man die Steigung ab? Zeichnen Sie an den Graphen einfach irgend ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem eine Seite parallel zur Abszisse (x-Achse) und eine Seite parallel zur Ordinate ist. Dann teilt man die Höhe des Dreiecks durch die Breite: [math]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math]. Da das Ergebnis ein Bruch ist, vergessen Sie am Ende nicht das Kürzen. [br]Im folgenden Arbeitsblatt kann man das üben. Drücken Sie "Neu" um eine neue Funktion zu erhalten.[br]Da sich auch das [math]b[/math] hier ganz einfach ablesen lässt, können sie auch gleich die ganze Funktionsgleichung bestimmen.
Eine Formel für die Steigung
Zwei Ecken des Steigungsdreiecks im oben abgebildeten Applet liegen auf der Geraden.[br]Nennen wir diese Punkte [math]\mathbf{A}(a_x|a_y)[/math] und [math]\mathbf B(b_x|b_y)[/math]. [br]Dann ist die Höhe des Steigungsdreieckes [math]\Delta y=b_y-a_y[/math] und die Breite des Steigungsdreieckes ist [math]\Delta x=b_x-b_a[/math].[br]Daraus kann man eine Gleichung für die Steigung formulieren:[br]Sind zwei unterschiedliche aber beliebige Punkte [math]\mathbf{A}[/math] und [math]\mathbf{B}[/math] einer linearen Funktion bekannt, dann kann man die Steigung mit der folgenden Gleichung berechnen:[br][math]\bgcolor{#FFFFAA}{\Large{\boxed{m=\frac{a_y-b_y}{a_x-b_x}\;\overset{\text{oder}}{=}\;\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x}}}}[/math]
Ausrechnen des y-Achsenabschnittes b
Beispiel: Gesucht ist eine Funktion durch die beiden Punkte [math]\mathbf{A}(2|1)[/math] und [math]\mathbf{B}(6|9)[/math].[br]Dann ist die Steigung: [math]m=\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x}=\frac{9-1}{6-2}=\frac{8}{4}=2[/math][br]Die gesuchte Funktion wird also so aussehen:[br][math]f(x)=m\cdot x+b=2\cdot x+b[/math][br]Nun müssen wir noch den [math]y[/math]-Achsenabschnitt [math]b[/math] ausrechnen. [br]Dazu wählen wir einen der beiden Punkte [math]\mathbf{A}[/math] oder [math]\mathbf{B}[/math] aus. Meistens ist es geschickt, den Punkt mit den kleineren Zahlen zu wählen, also [math]\mathbf{A}(2|1)[/math].[br]Dann wird die y-Koordinate von [math]\mathbf{A}[/math] für [math]f(x)[/math] eingesetzt und die [math]x[/math]-Koordinate für das [math]x[/math]: [math]a_y=m\cdot a_x+b[/math] also hier [math]1=2\cdot2+b[/math]. Diese Gleichung kann un nach b umgestellt werden:[br][math]1=4+b\quad \big\vert -4[/math][br][math]\Rightarrow-3=b[/math] als ist [math]b=-3[/math] und die Funktinsgleichung heißt[br][math]f(x)=2\cdot x-3[/math]
Übung
Verwenden Sie das oben stehende Applet, um sich verschiedene lineare Funktionen anzuzeigen.[br]Berechnen Sie dann [math]m[/math] und [math]b[/math] wie oben beschrieben.[br]Dann lassen Sie sich das Ergebnis anzeigen und schauen, ob sie richtig gerechnet haben.
Was sind Potenzfunktionen?
Definitionen
Potenzfunktionen sind Funktionen, deren Funktionsgleichung eine [b]Potenz[/b] mit der [color=#980000][b]Basis[/b][/color] [color=#980000][i]x[/i][/color] ist. Der [color=#980000][b]Exponent[/b][/color] [color=#980000][i]n[/i][/color] ist in der Regel eine ganze Zahl ([math]n\in\mathbb{Z}[/math]). In der 11ten Klasse des beruflichen Gymnasiums haben wir sogar fast nur mit positiven Exponenten zu tun:[br][br][math]\text{\Large{\[\boxed{f(x)=x^n}\]}}[/math][br][br]Im Arbeitsblatt unten kann man herausfinden, wie die Funktionsgraphen von Potenzfunktionen aussehen.
Es ist sehr wichtig die Funktionsgraphen der Potenzfunktionen zu kennen, denn diese Funktionen sind die Bausteine, aus denen wir später viele andere Funktionen (insbesondere die ganzrationalen Funktionen) zusammensetzen. [br][br]Für das Aussehen der Potenzfunktion bei wachsendem Exponenten [math]n[/math] lassen sich Merksätze formulieren, wie:[br][list][*]Für gerade Exponenten verändern sich die Funktionsgraphen der Potenzfunktion mit wachsenden Exponenten [b]von einer Schale in eine Kiste[/b]. [/*][*]Für ungerade Exponenten verändern sich die Funktionsgraphen der Potenzfunktion mit wachsenden Exponenten [b]von einem Sattel in einen Stuhl[/b].[/*][/list][br]Vielleicht fallen Ihnen noch bessere Merksätze ein. [br]Und vielleicht finden Sie auch Merksätze für die Potenzfunktionen mit negativen Exponenten.
Erkennen Sie die Funktionsgraphen der Potenzfunktionen?
Einführung
Einführung in die Differentialrechnung
[list=1][*][url=https://www.geogebra.org/m/fqrd6bqm#material/gz8hzbkr]Worum geht es? Differentialrechnung handelt von Steigungen.[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/fqrd6bqm#material/q3r9fgtk]Die mittlere Steigung eines Funktionsgraphen[/url] (Knöllchen 1)[br][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/fqrd6bqm#material/zbcrxtma]Die Steigung in einem Punkt[/url] (Knöllchen 2)[/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/kjj4542u]Zeichnen einer Ableitungsfunktion[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/nsb5xsay]Berechnen der Steigung in einem Punkt[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/errxmbpx]Die Ableitungsfunktion - eine Tangentensteigungsfunktion[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/ww2wyhwq]Wie berechnet man eine Ableitungsfunktion? Einfache erste Rechenregeln.[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/r7ktp8x6]Ableiten üben: Die 10-Punkte-Herausforderung[/url][br][/*][/list]
1. Vokabeln: Kosten, Erlös, Gewinn, Monopol, Polypol
Veranschaulichungen
Im Folgenden werden die Preis-Absatz-Funktion (kurz Preisfunktion), die Kostenfunktion, die Erlösfunktion und die Gewinnfunktion beschrieben. Im [url=https://www.geogebra.org/m/eavpbaun]Folgekapitel[/url] gibt es dafür Abbildungen aller Funktionsgraphen, in denen sich sogar einzelne Parameter verändern lassen.
Das Polypol - konstanter Preis
Stell dir vor, du stehst auf einem Markt und verkaufst Brötchen. Leider gibt es auf dem Marktstand noch 10 weitere Brötchenverkäufer. Dann bist du in der Marktsituation eines Polypols.[br][br]Du kannst nicht frei entscheiden, für wie viel Geld du deine Ware verkaufen möchtest. Bist du zu teuer, dann kaufen alle bei der Konkurrenz. Verkaufst du deine Brötchen billiger, dann machst du keinen [b]Gewinn[/b], sondern Verlust, weil deine [b]Kosten[/b] höher sind, als der [b]Erlös[/b]. In einem Polypol ist der Preis eines Produktes vom Markt (von der Konkurrenz) vorgegeben. Der Preis ist daher im Polypol nicht abhängig von der Menge der angebotenen Ware. [br][br]Wer den Preis trotzdem als eine Funktion in Abhängigkeit der angebotenen Ware beschreiben möchte, dann erhält man eine konstante Funktion, die einen waagerechten Funktionsgraphen hat. Der Preis ist ja für jedes [math]x[/math] der gleiche:[math]p(x)=p=konstant[/math]
Das Monopol - je kleiner der Preis, desto mehr Absatz
Heute ist wieder Markt. Du bist aber ab heute der einziger Brötchenverkäufer weit und breit. [br]Das ist eine neue Situation. Nun kannst du deinen Preis erhöhen, und die Kunden müssen trotzdem bei dir kaufen, sonst gibt es ja keine Brötchen.[br][br]Allerdings kann man an der Preisschraube nicht beliebig drehen: Ist der Preis zu hoch, dann kaufen nur wenig Menschen Brötchen. Möchtest du mehr verkaufen, dann kannst du den Preis senken. Je günstiger die Brötchen sind, desto mehr werden gekauft. Der Preis ist also abhängig vom Absatz, d.h. von der verkauften Menge. [b]Daher wird in einem Monopol der Preis[/b] [math]p[/math] [b]als eine Funktion in Abhängigkeit von der abgesetzten Menge[/b] [math]x[/math] [b]beschrieben[/b]: [math]p\left(x\right)[/math]. Der Funktionsgraph dieser Preis-Absatz-Funktion fällt mit zunehmender Warenmenge.[br][br]Der Funktionsgraph von [math]p(x)[/math] schneidet die Ordinate beim [b]Prohibitivpreis [math]p_H[/math][/b]. Oft wird auch die Bezeichung [b][i]Höchstpreis[/i][/b] verwendet, aber es ist im Grunde etwas unlogisch, einen Preis für die Warenmenge Null zu definieren. Und dann auch noch den höchsten.[br][br]Oft hat die Preisfunktion auch eine Nullstelle, d.h. sie schneidet die Abszisse. Diese Nullstelle heißt [b]Sättigungsmenge[/b] [math]x_S[/math]. Wenn so viel Ware auf dem Markt ist, dann ist der Preis also offenbar Null, d.h. du musst deinen Kunden die Ware schon schenken, wenn du sie loswerden möchtest. Bei noch größeren [math]x[/math] ist der Preis sogar negativ, d.h. jeder Kunden bekommt nicht nur Brötchen sondern auch noch Geld oben drauf, damit er bloß etwas mit nimmt - das ist wirtschaftlich gesehen natürlich Unsinn. Bei der Sättigungsmenge endet daher der [b][i]ökonomisch sinnvolle Definitionsbereich[/i][/b], denn niemand beginnt ein Geschäft, um seine Ware zu verschenken.
Kosten, Fixkosten, variable Kosten, ertragsgesetzliche Kostenfunktion
Wer etwas verkauft, der muss vorher investieren: Wenn du Brötchen auf dem Markt verkaufst, dann musst du zuerst die Standgebühren bezahlen. Du musst dir auch ein Auto leihen, um zum Markt zu kommen. Diese Kosten ändern sich nicht, egal wie viel du an diesem Tag verkaufst. Solche Kosten nennt man [b]Fixkkosten[/b] [math]K_{Fix}[/math].[br][br]Aber die meisten Kosten sind von der Menge der verkauften Ware abhängig: Wenn doppelt so viel Brötchen produziert werden, dann braucht man dafür doppelt so viel Mehl, Hefe, elektrische Energie und so weiter. Diese Kosten, die sich mit der Menge der produzierten Ware ändern, nennt man [b]variable Kosten[/b]. Da diese variablen Kosten von der Warenmenge [math]x[/math] abhängen, beschreibt man sie als Funktion in Abhängigkeit von [math]x[/math]: [math]K_v(x)[/math][br][br]Es gilt also für die gesamte Kostenfunktion: [math]K(x)=K_v(x)+K_{Fix}[/math].[br][br]Wer jeden Tag nur fünf Brötchen verkauft, hat pro Brötchen höhere Kosten, als wenn 1000 Brötchen verkauft werden. Das liegt schon daran, dass vermutlich der Backofen mit mehr Brötchen besser ausgelastet ist und wahrscheinlich bekommt man beim Einkauf der großen Mengen an Mehl sogar einen Rabatt vom Großhändler. Die variablen Kosten steigen daher nicht linear, sondern der Graph der Kostenfunktion wird zuerst immer flacher, man sagt er [b]steigt degressiv[/b]. Ab einer bestimmten Warenmenge, wenn eine Fabrik gebaut werden muss oder grundsätzlich die Hälfte der Ware gar nicht verkauft wird, steigen die Kosten wieder schneller, d.h. die Kostenfunktion wird immer steiler. In diesen Bereich sagt man, die Kosten [b]steigen progressiv[/b]. Diese typische S-förmige gesamte Entwicklung der Kosten mit degressiver und progressiver Zunahme nennt man [b]ertragsgesetzliche Kostenfunktion[/b].
Erlös
Der Erlös ist das Geld, welches du von deinen Kunden bekommst. Nimm mal an, du brauchst für dein Geschäft kein Wechselgeld und fährst morgens mit deiner Ware und einem leeren Portemonnaie zum Markt. Dann ist das Geld, welches am Ende des Marktes in deinem Geldbeutel ist, der Erlös. [b]Der Erlös ist das Geld, das von den Kunden kommt[/b].[br][br]Multipliziert man die Menge der verkauften Ware mit dem Preis, der dafür verlangt wurde, dann erhält man den Erlös: [math]E(x)=x\cdot p(x)[/math].
Gewinn
Der Erlös wird oft mit dem Gewinn verwechselt. Aber der Erlös ist ja nur das Geld, welches die Kunden bezahlt haben. Hier wird gar nicht berücksichtigt, dass du vor dem Verkauf der Brötchen jede Menge Mehl und Hefe gekauft hast, die Standgebühren bezahlt hast und so weiter. Gewonnen hast du nur das Geld das übrigbleibt, wenn man vom Erlös die Kosten abzieht. Und genau so entsteht dann auch die Gewinnfunktion: [math]G(x)=E(x)-K(x)[/math].[br][br]Da das eigene Gehalt auch ein Teil der Kosten ist, kann man auch langfristig überleben, wenn man keinen Gewinn macht. Man darf eben nur keinen Verlust machen, dann wird das eigene Geld weniger. Wenn die Gewinnfunktion negative Funktionswerte hat, dann bedeutet das Verlust, positive Funktionswerte sind dein Gewinn.[br][br]Bleiben wir bei den Brötchen: Du musst erst eine ganze Menge Brötchen verkaufen, so dass der Erlös groß genug ist, dass man mit einem Gewinn nach hause geht. Schließlich müssen neben Mehl und Hefe z.B. auch die Standgebühren bezahlt werden. Die Menge, ab der der Erlös die Kosten übersteigt, nennt man [b]Gewinnschwelle[/b] oder [b]Break-even-point[/b]. [br][br]In einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion steigen die Kosten ab einer bestimmten Warenmenge wieder progressiv (siehe oben). Ab einer bestimmten Menge sind die Kosten daher wieder höher als der Erlös und man macht Verlust. Die Warenmenge, ab der kein Gewinn mehr gemacht wird, heißt [b]Gewinngrenze[/b]. [br][br][i]Gewinnschwelle[/i] oder [i]Break-even-point[/i] sowie die [i]Gewinngrenze[/i] sind [b]Nullstellen der Gewinnfunktion[/b].