[b]La curva de Koch[br] [img]https://c.tenor.com/RWtqU-hz5Z8AAAAC/koch-fractal.gif[/img][br][/b]Helge Von Koch (1870-1924) fue un matemático noruego que dedicó casi todas sus investigaciones a la teoría de números, llegando a demostrar la equivalencia entre la hipótesis de Riemman y la forma fuerte del teorema de los números primos. En uno de los escasos trabajos que dedicó a la geometría, en el año 1904, describe uno de los primeros fractales conocidos: la curva de Koch. Este fractal se forma a partir de un segmento, por la sustitución de su tercio central por dos segmentos de longitud también un tercio, pero formando ángulos de 60º.[br]Este proceso se repite recursivamente en cada segmento obtenido...[br] [img]https://www.masscience.com/wp-content/uploads/2017/10/curva-de-koch.png[/img]
[b][color=#0000ff]Actividad[/color][/b]: [br][br][b][color=#0000ff]a)[/color] [/b]En el siguiente espacio, reproduce el fractal hasta llegar a la cuarta iteración, partiendo del segmento AB de 27 unidades de longitud:
[b][color=#0000ff]b)[/color][/b] Escribe los primeros cuatro términos de [math]\left(a_n\right)[/math] y halla una expresión para su término general. [br]Se sugiere considerar tu construcción anterior tomando la longitud del segmento AB igual a 1 unidad.
[b][color=#0000ff]c)[/color] [/b]Demuestra que [math]\left(a_n\right)[/math] es monótona creciente.
[b][color=#0000ff]d) [/color][/b]Calcula la longitud de la poligonal completa y demuestra, aplicando la definición de límite, que dicho resultado es correcto.
Si realizamos el proceso anterior pero ahora sobre los lados de un triángulo[br]equilátero, obtenemos el fractal copo de nieve:[br]Mueve el deslizador en el siguiente applet y podrás observar, a través de la iteraciones, el copo de nieve:
[b][color=#0000ff]e)[/color] [/b]¿Cómo expresarías el perímetro de la figura de la etapa [math]n[/math] del proceso?
[b][color=#0000ff]f)[/color][/b] ¿Cómo se comporta el perímetro a medida que va aumentando el número de[br]iteraciones?[br]Sugerencia: Piensa en el [math]lim\left(3a_n\right)[/math] siendo [math]\left(a_n\right)[/math] la sucesión de las actividades anteriores.
[b][color=#0000ff]g)[/color] [/b]¿Observar algún tipo de simetría en el fractal obtenido?, ¿a qué se debe?