Simetría: Mosaicos y grupos cristalográficos

José Antonio Mora Sánchez, Jan 31, 2022

Los grupos cristalográficos en los mosaicos del plano

Table of Contents

  1. Propuesta didáctica
    1. Guía para el estudio de los mosaicos
    2. Dos formas de analizar los mosaicos. El Hueso de la Alhambra.
    3. Grupo de simetría del cuadrado
    4. El grupo cristalográfico
    5. Las (48) simetrías del cubo.
  2. Estudio de mosaicos
    1. p1. Gallos
    2. pg. Unicornios
    3. pm. Alcázar de Sevilla
    4. cm. Escarabajos
    5. p2. Caballitos de mar
    6. pgg. Perros
    7. pmg. Insectos
    8. pmm. Voladores
    9. cmm. Mosaico islámico
    10. p3. Reptiles
    11. p3m1. Tres animales
    12. p31m. Peces voladores.
    13. p4. Peces
    14. p4m. Rombos en la Alhambra
    15. p4g. Mariposas
    16. p6. Mariposas 2
    17. p6m. Mosaico semirregular
  3. Grupos a partir de baldosas
    1. Mosaico p1
    2. Mosaico pg
    3. Mosaico pm
    4. Mosaico cm
    5. Mosaico p2
    6. Mosaico pgg
    7. Mosaico pmg
    8. Mosaico pmm
    9. Mosaico cmm
    10. Mosaico p3
    11. Mosaico p3m1
    12. Mosaico p31m
    13. Mosaico p4
    14. Mosaico p4m
    15. Mosaico p4g
    16. Mosaico p6
    17. Mosaico p6m

1.

Propuesta didáctica

Analizamos los grupos cristalográficos desde una doble perspectiva: en primer lugar estudiamos un mosaico analizando sus elementos de simetría llegar a la baldosa inicial y los movimientos para construirlo y también desde el diseño de una baldosa queque pueda generar el mosaico completo con las instrucciones (movimientos) adecuadas de colocación.

  • 1. Guía para el estudio de los mosaicos
  • 2. Dos formas de analizar los mosaicos. El Hueso de la Alhambra.
  • 3. Grupo de simetría del cuadrado
  • 4. El grupo cristalográfico
  • 5. Las (48) simetrías del cubo.

1.1.

Guía para el estudio de los mosaicos

Propuesta didáctica
[b]Secuencia de trabajo para la clase[br][br][/b]Antes de pulsar los interruptores que hacen aparecer las simetrías del mosaico, es interesante dedicar un tiempo a conseguirlas por uno mismo. Como guía de trabajo en clase se puede utilizar la siguiente secuencia de preguntas:[br][br]1. Marca sobre el mosaico todas las isometrías o movimientos en el plano que observes y descríbelas por escrito. [list][*]Busca vectores de traslación en dos direcciones diferentes.[/*][*]Si hay rotaciones, marca los centros para ver si con ellos se forma una trama de puntos, si hay simetrías rotacionales de varios órdenes, utiliza colores distintos.[/*][*]Dibuja los ejes de simetría y haz una trama con las líneas.[/*][*]Busca los ejes de simetría con deslizamiento marcando los ejes y al menos uno de los vectores de traslación paralelo a uno de los ejes.[/*][/list][br]2. Observa el entramado que se genera y describe la baldosa que se encuentra en su interior. ¿A qué tipo de polígono se llega? Describe la malla o trama oculta en la que se apoyó el diseñador del mosaico.[br][br]3. Toma una de las baldosas y describe las instrucciones para reproducir todo el mosaico
– José Antonio Mora Sánchez

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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2.

Estudio de mosaicos

Utilizamos la geometría dinámica para investigar un mosaico (la mayoría de Escher o de la Alhambra). Colocamos los centros de rotaciónm vectores de traslación y ejes de simetría o de simetría con deslizamiento con el fin de organizar una trama que nos permita clasificar el mosaico y llegar a la baldosa mínima: la más pequeña que podemos utilizar para generara el mosaico completo a partir de sus simetrías.

  • 1. p1. Gallos
  • 2. pg. Unicornios
  • 3. pm. Alcázar de Sevilla
  • 4. cm. Escarabajos
  • 5. p2. Caballitos de mar
  • 6. pgg. Perros
  • 7. pmg. Insectos
  • 8. pmm. Voladores
  • 9. cmm. Mosaico islámico
  • 10. p3. Reptiles
  • 11. p3m1. Tres animales
  • 12. p31m. Peces voladores.
  • 13. p4. Peces
  • 14. p4m. Rombos en la Alhambra
  • 15. p4g. Mariposas
  • 16. p6. Mariposas 2
  • 17. p6m. Mosaico semirregular

2.1.

p1. Gallos

[b]Elementos de simetría.[/b][br][br]La única simetría de este grupo es la traslación según dos vectores que en este caso pueden ser perpendiculares.[br][br][b]Baldosa poligonal.[/b][br][br]Se parte inicialmente de un cuadrado aunque también podría ser un paralelogramo. Las transformaciones de dos de sus lados se llevan a los lados opuestos mediante traslación.
[b]Construcción del mosaico.[/b][br][br]Las traslaciones hacen aparecer nuevos gallos, primero los más oscuros con el vector oblicuo y después las traslaciones horizontales rellenan los huecos con la misma figura.
– José Antonio Mora Sánchez

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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2.8.

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2.9.

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2.10.

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2.11.

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2.12.

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2.13.

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2.14.

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2.15.

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2.16.

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2.17.

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3.

Grupos a partir de baldosas

Partimos de una baldosa básica poligonal, unas veces modificamos su contornoy en otros introducimos un diseño en su interior. Después intentamos rellenar el plano con esa nueva baldosa modificadas mediante giros, traslaciones o simetrías.

  • 1. Mosaico p1
  • 2. Mosaico pg
  • 3. Mosaico pm
  • 4. Mosaico cm
  • 5. Mosaico p2
  • 6. Mosaico pgg
  • 7. Mosaico pmg
  • 8. Mosaico pmm
  • 9. Mosaico cmm
  • 10. Mosaico p3
  • 11. Mosaico p3m1
  • 12. Mosaico p31m
  • 13. Mosaico p4
  • 14. Mosaico p4m
  • 15. Mosaico p4g
  • 16. Mosaico p6
  • 17. Mosaico p6m

3.1.

Mosaico p1

Se ha construido a partir de una baldosa con forma de paralelogramo. Se deforman dos lados contiguos y se traslada cada línea al lado opuesto.
– José Antonio Mora Sánchez

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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3.8.

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3.9.

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3.10.

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3.11.

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3.12.

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3.13.

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3.14.

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3.15.

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3.16.

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3.17.

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