[table][tr][td][u][color=#0000ff][b][i]Tétel:[/i][/b][/color][/u] [i]Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. [br][br][/i][/td][/tr][/table]

[u][color=#0000ff][i][b]Bizonyítás:[br][/b][/i][/color][/u]Kössük össze a kör AB átmérőjének két végpontját a körvonal egy tetszőleges C pontjával. Így egy ABC háromszöget kaptunk. Az A csúcsnál lévő CABÐ=a, és ABCÐ=ßA C pontot most kössük össze a kör O középpontjával. Az OC szakasz két háromszögre bontja az eredeti háromszöget. 

Mindkét háromszög egyenlőszárú, hiszen AO=OC=OB=rEbből következik, hogy ACOÐ=CABÐ=a, ugyanígy BCOÐ=ABCÐ= ß .Az ABC háromszög belső szögeinek összege:[br][br][color=#0000ff]a +b +(a+b)=180° => 2(a+b)=180°, tehát: alfa+béta=90[/color][color=#0000ff]°[/color][br][br]Ezzel beláttuk, hogy az ABC háromszögben a C csúcsnál derékszög van.

[u][i][b][color=#0000ff]A tétel megfordítása:[br][/color][/b][/i][/u][i]Ha egy AB szakasz valamely C pontból derékszögben látszik, akkor az AB átmérőjű körnek egyik pontja a C pont.[/i]Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy:[i]A derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja. Az átfogó a kör átmérője.[br][/i]

[u][i][b][color=#0000ff]Bizonyítás:[/color][/b][/i][br][/u][br][table][tr][td]Tekintsük az ABC derékszögű háromszöget, melynek átmérője az AB oldal, tehát ACBР=90°[br]Tükrözzük ezt a háromszöget az AB átfogó F felezési pontjára. [br]C pont tükörképét C' ponttal jelöltük a mellékelt ábrán.[br]A [url=http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Kozeppontos_tukrozes.htm]középpontos tükrözés[/url] tulajdonságai miatt az így kapott síkidom téglalap, amelynek átlói egyenlő hosszúak és felezik egymást.[br][/td][/tr][/table]

A téglalap F középpontja egyenlő távol van az ABC [url=http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Haromszog_oldalfelezoi.htm]háromszög mindhárom [/url]csúcsától, ezért ez az F pont éppen az ABC háromszög köré írt körének a középpontja, AF=FB=FC a köré írt kör sugara

A két állítás egybe is fogható:[br]

[b][i][u][color=#0000ff]Tétel:[/color][/u][/i][/b][i][br]A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz derékszög alatt látszik, az AB átmérőjű kör, kivéve az AB szakasz két végpontját.[br][/i][i][br][/i]

Ha a P pont nem a kör kerületén, hanem a kör belsejében van, akkor a P pontból az AB szakasz tompaszög alatt látszik.[br]

Ha a P pont nem a kör kerületén, hanem a körön kívül helyezkedik el, akkor a P pontból az AB szakasz hegyesszög alatt látszik.[br]

 Thalész tétele tekinthető a [url=http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Keruleti_kozepponti_szogek_tetele.htm]kerületi és középponti szögek tétele[/url] speciális esetének.[br]