Definiere kubische Polynome p[sub]i[/sub] i=1..n zwischen Stützpunkten ( X[sub]i[/sub] , Y[sub]i[/sub] ) i=1...n+1[br][br][math]\large p(i,t)=a_{i3} \; t^{3} + a_{i2} \; t^{2} + a_{i1} \; t \; [/math], t=0...1 [br][br]p( i, 0)=x[sub]i[/sub] , p( i ,1) = x[sub]i+1 [/sub] [br]p( i, 0)=y[sub]i[/sub] , p( i ,1) = y[sub]i+1[/sub][br][br][table][tr][td]p( i , 1 ) + X[sub]i[/sub] = p( i+1 , 0 ) + X[sub]i+1[/sub] =>[/td][td]p( i , 1 ) = X[sub]i+1[/sub] - X[sub]i[/sub] [/td][td]Anschluß an den Stützstellen X[sub]i[/sub] analog für Y[sub]i[/sub] [br][/td][td](7)[/td][/tr][tr][td]p'( i , 1) = p'( i+1,0) [/td][td][/td][td]an den Übergängen gleiche Steigung [/td][td](8)[/td][/tr][tr][td]p''( i , 1) = p''( i+1,0)[/td][td][/td][td]und Krümmung i=1...n[/td][td](9)[/td][/tr][/table][br]für eine geschlossene Kurve ist (X[sub]n+1[/sub] , Y[sub]n+1[/sub] ) = (X[sub]1[/sub] , Y[sub]1[/sub] ) - jede Definition ergibt n Gleichungen - zusammengefasst in Matrix D (18):[br][br]n=3: A=(1/2, 2), B=(5/2, 2), C=(3/2, -1) ===> [math]X \, := \, \left\{ \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, \frac{3}{2} \right\} \;, \; Y \, := \, \left\{ 2, 2, -1 \right\} [/math][br]geschlossene Splinekurve ABCA:[br][size=85]{p(1,1)=X(2)-X(1),p(2,1)=X(3)-X(2),p(3,1)=X(1)-X(3)}[br]{p(1,1)=Y(2)-Y(1),p(2,1)=Y(3)-Y(2),p(3,1)=Y(1)-Y(3)}[br]{p'(1,1)-p'(2,0)=0,p'(2,1)-p'(3,0)=0,p'(3,1)-p'(1,0)=0}[br]{p''(1,1)-p''(2,0)=0,p''(2,1)-p''(3,0)=0,p''(3,1)-p'(1,0)=0}[/size][br]===>[br]D ( a[sub]ij[/sub] ) = (X[sub]i+1[/sub]-X[sub]i[/sub]) [math]\large \wedge[/math] D ( a[sub]ij[/sub] ) = (Y[sub]i+1[/sub]-Y[sub]i[/sub]) :[br][math]D \, := \, \left(\begin{array}{rrrrrrrrr}1&1&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&1&1\\3&2&1&0&0&-1&0&0&0\\0&0&0&3&2&1&0&0&-1\\0&0&-1&0&0&0&3&2&1\\6&2&0&0&-2&0&0&0&0\\0&0&0&6&2&0&0&-2&0\\0&-2&0&0&0&0&6&2&0\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}a13\\a12\\a11\\a23\\a22\\a21\\a33\\a32\\a31\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}2\\-1\\\-1\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right) , \left(\begin{array}{r}3\\-3\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)[/math][br][br][table][tr][td]( a[sub]ij[/sub] ) = D[sup]-1[/sup] (X[sub]i+1[/sub]-X[sub]i[/sub]) [br]( a[sub]ij[/sub] ) = D[sup]-1[/sup] (Y[sub]i+1[/sub]-Y[sub]i[/sub]) [/td][td][math]\left(\begin{array}{rrrrrrrrr}a13&a12&a11&a23&a22&a21&a33&a32&a31\\-2&3&1&1&-3&1&1&0&-2\\0&-3&3&3&-3&-3&-3&6&0\\\end{array}\right)[/math][/td][td][/td][/tr][/table][br][math]\textcolor{blue}{x(t) \, := \, If \left(t \geq 0 \wedge 1 \geq t,-2 \; t^{3} + 3 \; t^{2} + t + \frac{1}{2},t > 1 \wedge 2 \geq t,\left(t - 1 \right)^{3} - 3 \; \left(t - 1 \right)^{2} + t + \frac{3}{2},\left(t - 2 \right)^{3} - 2 \; \left(t - 2 \right) + \frac{3}{2} \right)}[/math][br][math]\textcolor{blue}{y(t) \, := \, If \left(t \geq 0 \wedge 1 \geq t,-3 \; t^{2} + 3 \; t + 2,t > 1 \wedge 2 \geq t,3 \; t^{3} - 12 \; t^{2} + 12 \; t - 1,-3 \; t^{3} + 24 \; t^{2} - 60 \; t + 47 \right)} [/math][br]