[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt#material/gfche6tz][img]data:image/png;base64,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[/img][/url][/td][td] [size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][b]geogebra-books[/b][/color] [br] [color=#0000ff][u][b][/b][/u][/color][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n][color=#0000ff][u][b]Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ...[/b][/u][/color][/url] ([color=#ff7700][i][b]27.04.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][right][size=50][i][b][size=50]Diese Aktivität ist auch eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [color=#ff7700]october 2021[/color][/size][/b][/i][/size][/right]

[size=85]Ein [/size][color=#ff0000][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color][size=85] besteht aus allen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color], welche einen vorgegebenen [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] in einem [br]vorgegebenen [color=#0000ff][i][b]Punkt[/b][/i][/color] - dem [color=#0000ff][i][b]Grundpunkt [/b][/i][/color]des [color=#ff0000][i][b]Büschels[/b][/i][/color] - [i][b]berühren[/b][/i].[br][br]Die [color=#ff00ff][i][b]Parallelen[/b][/i][/color] zur [math]x[/math]-Achse sind [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] ein solches [color=#ff0000][i][b]parabolisches[/b][/i][/color] "[color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color]": Die "[color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]" sind hier [color=#ff00ff][i][b]Geraden[/b][/i][/color],[br]welche durch den Punkt [math]\infty[/math] gehen und sich dort berühren. [br]Dies erkennt man am ehesten mit Hilfe der [color=#900000][i][b]stereographischen Projektion[/b][/i][/color].[br]Jedes [color=#ff00ff][i][b]Parallelen-Büschel[/b][/i][/color] ist ein [color=#ff00ff][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit [math]\infty[/math] als [color=#0000ff][i][b]Grundpunkt[/b][/i][/color].[br][br]Eine [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color], welche die [color=#0000ff][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [math]0,1,\infty[/math] auf drei verschiedene [color=#0000ff][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [math]w_0,w_1,w_{\infty}[/math] abbildet, transformiert[br]das [color=#ff00ff][i][b]Büschel[/b][/i][/color] der zur [math]x[/math]-Achse [color=#ff00ff][i][b]parallelen Geraden[/b][/i][/color] in ein [color=#ff0000][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color], welches die [color=#ff00ff][i][b]Parallelen[/b][/i][/color] auf [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [br]abbildet, die den Kreis durch [math]0,1,\infty[/math] in [math]\infty[/math] berühren.[br]Umgekehrt läßt sich jedes [color=#ff0000][i][b]parabolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] durch eine [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [br]in ein [color=#ff00ff][i][b]Parallelen-Büschel[/b][/i][/color] transformieren.[/size]

[size=85]Allgemein sind [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] und deren [color=#9900ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] - also die Kurven, [br] welche die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#ff0000][i][b]Büschels[/b][/i][/color] unter [i][b]konstantem[/b][/i] Winkel schneiden -[br]charakterisiert durch eine [color=#38761D][i][b]Differential-Gleichung[/b][/i][/color] und damit durch ein [color=#274E13][i][b]Vektorfeld[/b][/i][/color] des Typs[br][/size][list][*][math]g'=c\cdot\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)\mbox{ mit }f_1,f_2,c\in\mathbb{C}[/math].[br][/*][/list][size=85]Hierbei ist die [color=#274E13][i][b]komplexe Lösungsfunktion[/b][/i][/color] [math]g=g(z)[/math] analytisch, bzw. meromorph. [br]Die Nullstellen [math]f_1,f_2[/math], die wir [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte [/b][/i][/color]nennen, können zusammenfallen ( - dann liegt ein [color=#ff0000][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] vor - ).[br]Man kann die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] eines [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschels[/b][/i][/color] dynamisch deuten als [i][b]Kreiswellen[/b][/i], die sich von einer [color=#00ff00][i][b]Quelle[/b][/i][/color] aus [br]in Richtung der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] zur [color=#00ff00][i][b]Senke[/b][/i][/color] bewegen. [br][color=#00ff00][i][b]Quelle[/b][/i][/color] und [color=#00ff00][i][b]Senke[/b][/i][/color] sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] der [color=#980000][i][b]Wellen-Bewegung[/b][/i][/color].[br]Wir nennen diese [color=#274E13][i][b]Vektorfelder[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]linear[/b][/i][/color]. [br]Zur Erklärung verweisen wir auf die Darstellung der Möbiusgruppe durch die komplexe spezielle orthogonale Gruppe [b]SO[/b]([b]3[/b],[math]\mathbb{C}[/math])[br]und deren [b]LIE[/b]-Algebra [math]\mathbf{\mathcal{so}\left(3,\mathbb{C}\right)[/math]. [math]\hookrightarrow[/math] [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color], speziell das Kap. [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168949][color=#0000ff][u][i][b]Kreisbüschel und lineare Vektorfelder[/b][/i][/u][/color][/url][br][br]Überlagert man 2 solcher [color=#274E13][i][b]Vektorfelder[/b][/i][/color], so entstehen "[color=#ff7700][i][b]quadratische Vektorfelder[/b][/i][/color]", deren [color=#9900ff][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] [color=#6aa84f][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [br][color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte [/b][/i][/color]oder [color=#6aa84f][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] sein können. [br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind jeweils die Nullstellen der [color=#274E13][i][b]linearen Vektorfelder[/b][/i][/color].[br]Die [/size][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color][/size] sind in diesen Fällen [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] der sich schneidenden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] aus den beiden [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br][br]links: [br][math]\hookrightarrow[/math] [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]möbiusebene[/url][/b][/i][/u][/color][br][math]\hookrightarrow[/math] [/size][size=85][size=85][color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][/size] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp]Leitlinien und Brennpunkte[/url][/b][/i][/u][/color][br][br][/size]