[size=100][size=150][color=#ff0000]USARE LE REGOLE DI DERIVAZIONE AL CONTRARIO[/color][/size][br][/size]Poiché l'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, impariamo ad integrare partendo da come sappiamo derivare. La prima regola di riferimento che ci permette di calcolare integrali non immediati (cioè che non siano l'esatto risultato di una derivata elementare) è la regola di derivazione delle funzioni composte:[br][br][math]\large{\frac{df(g(x))}{dx} = \textcolor{red}{\frac{df}{dg}}[br]\cdot \textcolor{blue}{\frac{dg}{dx}}}[/math][br][br]dove [color=#ff0000]quella rossa è la derivata della funzione "principale" fatta rispetto al suo argomento[/color], e [color=#0000ff]quella blu è la derivata dell'argomento[/color]. Possiamo scrivere questa regola in modo sintetico come[br][br][math]\large{\frac{df(g(x))}{dx} = \textcolor{red}{f'(g(x))} \cdot \textcolor{blue}{g'(x)}}[/math][br][br]Ad esempio [br][br][math]\large{\frac{d\textcolor{red}{sin(\textcolor{blue}{3x^2+5x})}}{dx} = \textcolor{red}{cos(3x^2+5x)}\cdot (\textcolor{blue}{6x+5})}[/math][br][br]Da ciò possiamo dedurre la corrispondente integrazione:[br][br][math]\large{\int \textcolor{red}{cos(3x^2+5x)}\cdot (\textcolor{blue}{6x+5} )dx = \textcolor{red}{sin(\textcolor{blue}{3x^2+5x})}+c}[/math][br][br]In generale, [b]la primitiva di una funzione che è il prodotto di una funzione composta per la derivata del suo argomento è la primitiva della funzione "esterna" con lo stesso argomento[/b].[br][br][math]\large{\int \textcolor{red}{f'(g(x))} \cdot \textcolor{blue}{g'(x)}dx = f(g(x))}[/math][br][br]In alcuni casi riconoscere il prodotto di due elementi di questo tipo è semplice, in altri può essere molto complesso. [b][color=#ff0000]Come al solito il modo migliore per verificare la correttezza del risultato trovato è derivarlo ed assicurarsi che il risultato coincida con la funzione di partenza[/color][/b]. [br][br][size=150][color=#ff0000]IL METODO DI SOSTITUZIONE E IL DIFFERENZIALE[/color][/size][br]Per visualizzare meglio la logica di questo metodo è possibile effettuare una [b]sostituzione di variabili[/b], che tra l'altro è necessario comunque imparare perché definisce un metodo che risolve anche integrali che non sono immediatamente riconoscibili secondo il modello della funzione composta. [br][br]Supponiamo di dover svolgere il seguente integrale:[br][br][math]\Large{\int 2x \cdot e^{x^2+1} dx}[/math][br][br]Dato che l'esponenziale ha come argomento [math]\large{x^2+1}[/math], la cui derivata è proprio il [math]\large{2x}[/math] per cui è moltiplicato l'esponenziale stesso, vogliamo provare ad effettuare la sostituzione [math]\large{t=x^2+1}[/math], per concentrarci sulla funzione principale che dobbiamo integrare. [br][br][b][color=#0000ff]IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE[/color][/b][br][color=#0000ff]Il primo problema che ci si pone è con cosa sostituire l'infinitesimo [math]\large{dx}[/math] che compare nell'integrale.[/color] [br][br]Il simbolo [math]\large{dx}[/math] indica la variazione infinitesima della quantità di input [math]\large{x}[/math]; nel momento in cui effettuiamo una sostituzione (nel nostro caso [math]\large{t=x^2+1}[/math]), il nuovo input è rappresentato da [math]\large{t}[/math]: quello che ci chiediamo è [b][color=#0000ff]quanto cambia la nuova quantità [math]\large{t}[/math] se [math]\large{x}[/math] subisce una variazione [math]\large{dx}[/math][/color][/b]? La variazione di [math]\large{t}[/math] è indicata dal simbolo [math]\large{dt}[/math] e prende il nome di [b][color=#0000ff]differenziale[/color][/b] della funzione.[br][br]La seguente animazione ci presenta come si risolve questo problema.

È importante sottolineare che il differenziale così calcolato è un'approssimazione dell'effettiva variazione della funzione considerata. Considerando la natura infinitesima delle quantità in gioco (trattandosi di infinitesimi stiamo considerando infatti il limite per [math]\large{x}[/math] che tende a zero), la differenza tra il risultato esatto e l'approssimazione diventa anch'esso trascurabile.

[b]A fronte della variazione infinitesima [math]\large{dx}[/math] la variazione effettiva dell'output funzione [math]\large{t}[/math] è rappresentata dalla freccia nera in figura, cioè la differenza tra l'input nei due punti dell'intervallo: [math]\large{dt = t(x+dx)-t(x)}[/math][/b]. [br][br]Il calcolo di questa espressione tuttavia può divenire molto complicato. Ad esempio se [math]\large{t(x) = \sin(x^2+1)}[/math] abbiamo che la variazione di output diventa[br][br][math]\large{dt = t(\textcolor{red}{x+dx})-t(\textcolor{red}{x})=\sin(\textcolor{red}{(x+dx)}^2+1)-\sin(\textcolor{red}{(x)}^2+1)= \sin(x^2+2xdx +dx^2 +1)-\sin(x^2+1)\dots}[/math][br][br]che è difficilmente gestibile. [color=#ff0000]A questo scopo si può approssimare la variazione di output con la quantità indicata in rosso nella figura sopra[/color], cioè la variazione che si avrebbe [color=#0000ff]se la funzione continuasse a variare in modo costante (quindi rettilineo, con inclinazione costante) con la velocità istantanea nel punto di partenza. Tale andamento è rappresentato dalla linea tratteggiata in figura[/color]. Da definizione di coefficiente angolare abbiamo che[br][br][math]\large{m=\frac{dy}{dx} \qquad \rightarrow \qquad dy=dt=m\cdot dx}[/math][br][br]Poiché il coefficiente angolare della retta coincide con la derivata della funzione [math]\large{t(x)}[/math] nel punto A abbiamo che la nostra stima della variazione degli output si può approssimare con [br][br][math]\Large{dt= dy=\textcolor{red}{m}\cdot dx = \textcolor{red}{t'(x)} \cdot dx}[/math]

[b][color=#0000ff]APPLICAZIONE DEL DIFFERENZIALE[/color][br][/b]Quanto abbiamo trovato conferma che la nostra intuizione era corretta, perché riprendendo l'integrale di partenza[br][br][math]\Large{\int \textcolor{blue}{2x} \cdot e^{\textcolor{red}{x^2+1}} \textcolor{blue}{dx}}[/math][br][br]sostituiremo [math]\large{\textcolor{red}{x^2+1}}[/math] con la nuova variabile [math]\large{\textcolor{#007700}{t}}[/math] come programmato, il calcolo del corrispondente differenziale [math]\large{dt}[/math] ci dà[br][br][math]\Large{dt=\textcolor{red}{t'(x)} \cdot dx = \textcolor{red}{D[x^2+1]} \cdot dx= \textcolor{red}{2x} \cdot dx}[/math][br][br]abbiamo quindi trovato che la parte in blu dell'integrale di partenza, [math]\large{\textcolor{blue}{2xdx}}[/math], corrisponde esattamente alla variazione infinitesima [math]\large{\textcolor{blue}{dt}}[/math] della nuova variabile [math]\large{\textcolor{#007700}{t}}[/math]. [br][br]Usando la nuova variabile l'integrale può essere quindi riscritto in una forma molto più semplice la cui soluzione è immediata:[br][br][math]\Large{\int e^{\textcolor{#007700}{t}} \textcolor{blue}{dt} = e^{\textcolor{#007700}{t}}+c}[/math][br][br]A questo punto non rimane che sostituire all'indietro la variabile [math]\large{\textcolor{#007700}{t}}[/math] con la sua espressione, ottenendo che l'integrale indefinito cercato ha la forma[br][br][math]\Large{e^{x^2+1}+c}[/math][br][br]In questo esempio l'integrale di partenza era piuttosto semplice e la sostituzione non era strettamente necessaria, ma in casi più complessi essa può essere molto utile per verificare la correttezza di un'ipotesi o, come detto, per trovare una risoluzione che prescinde dalla legge di derivazione delle funzioni composte.[br][br]

[size=150][color=#ff0000]UN APPROCCIO ALTERNATIVO[br][/color][/size]Nell'esempio visto sopra ottenendo il differenziale [math]\large{\textcolor{#007700}{dt}}[/math] della nuova variabile [math]\large{\textcolor{#007700}{t(x)}}[/math] ci si accorgeva che esso era già presente nell'integrale; inoltre la procedura era piuttosto semplice perché la funzione [math]\large{\textcolor{#007700}{t(x)}}[/math] era facile da derivare. [br][br]Queste due condizioni non sono sempre presenti, per cui in altre situazioni può essere più conveniente [b][color=#ff0000]ricavare la variabile di partenza[/color] [/b][math]\large{x}[/math] [b][i][color=#ff0000]e differenziare rispetto ad essa[/color][/i][/b]; la prima parte dei calcoli sarà appena più laboriosa ma poi dovremmo essere in grado di sostituire senza problemi ogni occorrenza di [math]\large{x}[/math] nell'integrale originale. Consideriamo ad esempio l'integrale[br][br][math]\large{\int \frac{5x}{\sqrt{7x-5}}dx}[/math][br][br]La sostituzione che viene da fare, in modo da sbarazzarsi della radice, è [br][br][math]\large{\textcolor{red}{t=\sqrt{7x-5}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)}}[/math][br][br]Poiché l'espressione di [math]\large{t(x)}[/math] non è particolarmente piacevole da derivare, invertiamo la funzione (NOTA: dovremmo VERIFICARE se essa è effettivamente invertibile nell'intervallo in cui ci interessa, cioè se è biunivoca - vedi [url=https://www.geogebra.org/m/ahCuGvXP#material/ujautySS]https://www.geogebra.org/m/ahCuGvXP#material/ujautySS[/url] e ultimo paragrafo di [url=https://www.geogebra.org/m/ahCuGvXP#material/PecCCtsR]https://www.geogebra.org/m/ahCuGvXP#material/PecCCtsR[/url], ma per il momento trascuriamo questo aspetto) in modo da ricavare [math]\large{x}[/math]:[br][br][math]\large{t=\sqrt{7x-5}\quad \rightarrow \quad t^2=7x-5\quad \rightarrow \quad t^2+5=7x}[/math][br][br]Da cui otteniamo[br][br][math]\large{\textcolor{blue}{x=\frac {1}{7}t^2+\frac{5}{7}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2)}}[/math][br][br]Differenziando i due membri dell'equazione otteniamo [br][br][math]\large{\textcolor{#007700}{dx=\frac {2}{7}tdt\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(3)}}[/math][br][br]Utilizzando le equazioni [math]\large{\textcolor{red}{(1)}\ \textcolor{blue}{(2)} \mbox{ e }\textcolor{#007700}{(3)}}[/math] siamo ora in grado di sostituire nell'integrale originale ogni occorrenza della [math]\large{x}[/math] con un'espressione in cui compare solo la nuova variabile (indichiamo le varie parti dell'integrale con il colore associato alla equazione utilizzata):[br][br][math]\large{\int \frac{5\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{\sqrt{7x-5}}}\textcolor{#007700}{dx} = \int \frac{5\textcolor{blue}{(\frac {1}{7}t^2+\frac{5}{7})}}{\textcolor{red}{t}}\textcolor{#007700}{\frac {2}{7}tdt}}[/math][br][br]Semplificando in croce le due [math]\large{t}[/math] e svolgendo i calcoli otteniamo [br][br][math]\large{\int \left (\frac{10}{49}t^2 + \frac{50}{49} \right )dt = \int \frac{10}{49}t^2 dt+ \int \frac{50}{49} dt} = \frac{10}{147}t^3 + \frac{50}{49}t + c[/math][br][br]A questo punto possiamo reintrodurre la variabile originale usando l'equazione [math]\large{\textcolor{red}{(1)}}[/math] con cui l'avevamo introdotta; dato che i numeri non sono piacevoli e la sostituzione non semplificherà le cose, prima forse conviene raccogliere il più possibile, cioè [math]\large{\frac{10}{49}t}[/math]:[br][br][math]\large{\frac{10}{49}t\left (\frac{1}{3}t^2 + 5 \right)+ c \qquad \rightarrow \qquad \frac{10}{49}\sqrt{7x-5}\left(\frac{7x-5}{3} + 5\right)+ c}[/math][br][color=#ff0000][b][br]Come nel caso delle derivate, anche con gli integrali è importante scriverli nel modo più semplice possibile, in modo che se li si deve usare si possa farlo maneggiando espressioni gestibili.[/b][/color]. Terminiamo quindi ottenendo:[br][br][math]\large{ = \frac{10}{49}\sqrt{7x-5}\left(\frac{7x-5+15}{3}\right)+ c=\frac{10}{147}\sqrt{7x-5}(7x+10)+ c}[/math][br][br]