Zusammenhang zwischen den Graphen von f und f''
Das obere Graphikfenster zeigt den Graphen einer Funktion f und einen Punkt (x|f(x)) auf dem Graphen. Mit dem Schieberegler kannst du diesen Punkt im Intervall [-3; 4] bewegen. Im unteren Graphikfenster werden die jeweiligen Punkte (x|f“(x)) gezeichnet.
Aufgabe 1:
Untersuche, welche Zusammenhänge zwischen der Funktion f und ihrer zweiten Ableitung f“ bestehen. Finde möglichst viele. Betrachte dabei auch besondere Punkte.
| Eigenschaft von f | Eigenschaft von f'' |
| Der Graph von f ist rechtsgekrümmt im Intervall I. | Der Graph von f'' ... |
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Aufgabe 2:
Erkläre mit Hilfe des Graphen von f den Begriff „Wendepunkt“.
Tipp: Du kannst dir mit dem Kontrollfeld „Wendepunkte einzeichnen“ die Punkte anzeigen lassen.
Aufgabe 3:
Beurteile die Aussagen.
Aussage 1: Wenn f an der Stelle x einen Wendepunkt hat, dann hat f“ an der Stelle x eine Nullstelle.
Aussage 2: Wenn f“ an der Stelle x eine Nullstelle hat, dann hat f an der Stelle x einen Wendepunkt.
Aufgabe 4:
In Aufgabe 3 hat du gesehen, dass an der Stelle eines Wendepunkts immer gelten muss: f“(x) = 0. Man spricht auch hier von der notwendigen Bedingung. Sie reicht aber offenbar nicht aus, wenn Wendepunkte gesucht werden, denn diese Bedingung ist auch im Sattelpunkt (1|f(1)) erfüllt.
Finde eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte.
Tipp: Überlege, wie die 3. Ableitung an den entsprechenden Stellen aussieht.
| Wenn... | Dann ... |
| ... an der Stelle x ein Wendepunkt vorliegt, | |
| ... an der Stelle x ein Sattelpunkt vorliegt, | |
Aufgabe 5:
Formuliere nun zusammenfassend Bedingungen, so dass richtige Aussagen entstehen:
| Eigenschaft von f | Eigenschaft von f'' |
| Wenn... | dann hat f an der Stelle x einen Wendepunkt mit einer Krümmungsänderung von rechts nach links. |
| | dann hat f an der Stelle x einen Wendepunkt mit einer Krümmungsänderung von links nach rechts ... |
| | Dann hat f an der Stelle x einen Sattelpunkt. |