Zusammenhang zwischen den Graphen von f und f''

Das obere Graphikfenster zeigt den Graphen einer Funktion f und einen Punkt (x|f(x)) auf dem Graphen. Mit dem Schieberegler kannst du diesen Punkt im Intervall [-3; 4] bewegen. Im unteren Graphikfenster werden die jeweiligen Punkte (x|f“(x)) gezeichnet.[br][br][br]

Aufgabe 1:

Untersuche, welche Zusammenhänge zwischen der Funktion f und ihrer zweiten Ableitung f“ bestehen. Finde möglichst viele. Betrachte dabei auch besondere Punkte.[br][table][tr][td][b]Eigenschaft von f [/b][/td][td][b]Eigenschaft von f''[/b] [/td][/tr][tr][td]Der Graph von f ist rechtsgekrümmt im Intervall I. [/td][td]Der Graph von f'' ...[/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][/tr][/table]

Aufgabe 2:

Erkläre mit Hilfe des Graphen von f den Begriff „Wendepunkt“.[br][br][br][br]Tipp: Du kannst dir mit dem Kontrollfeld „Wendepunkte einzeichnen“ die Punkte anzeigen lassen.[br][br][br]

Aufgabe 3:

Beurteile die Aussagen.[b][br][br][/b]Aussage 1: Wenn f an der Stelle x einen Wendepunkt hat, dann hat f“ an der Stelle x eine Nullstelle.[br][br]Aussage 2: Wenn f“ an der Stelle x eine Nullstelle hat, dann hat f an der Stelle x einen Wendepunkt.

Aufgabe 4:

In Aufgabe 3 hat du gesehen, dass an der Stelle eines Wendepunkts immer gelten muss: f“(x) = 0. Man spricht auch hier von der [b]notwendigen[/b] Bedingung. Sie reicht aber offenbar nicht aus, wenn Wendepunkte gesucht werden, denn diese Bedingung ist auch im Sattelpunkt (1|f(1)) erfüllt. [br][br]Finde eine [b]hinreichende [/b]Bedingung für Wendepunkte.[br][br]Tipp: Überlege, wie die 3. Ableitung an den entsprechenden Stellen aussieht.[br][br][table][tr][td]Wenn... [/td][td]Dann ... [/td][/tr][tr][td]... an der Stelle x ein Wendepunkt vorliegt,[/td][td][/td][/tr][tr][td]... an der Stelle x ein Sattelpunkt vorliegt, [/td][td][/td][/tr][/table][br]

Aufgabe 5:

Formuliere nun zusammenfassend Bedingungen, so dass richtige Aussagen entstehen:[br][br][table][tr][td][b]Eigenschaft von f [/b][/td][td][b]Eigenschaft von f'' [/b] [/td][/tr][tr][td]Wenn...[/td][td]dann hat f an der Stelle x einen Wendepunkt mit einer Krümmungsänderung von rechts nach links. [/td][/tr][tr][td][/td][td]dann hat f an der Stelle x einen Wendepunkt mit einer Krümmungsänderung von links nach rechts ...[/td][/tr][tr][td][/td][td]Dann hat f an der Stelle x einen Sattelpunkt.[/td][/tr][/table][br][br]