[justify]Consideremos la matriz [math]A[/math] de dimensión [math]m\ x\ n[/math] y la matriz [math]B[/math] de dimensión [math]n\ x\ p[/math]. Notemos que el número de columnas de [math]A[/math] coincide con el número de filas de [math]B[/math]. [br][br]Bajo estas condiciones, llamamos [b]producto[/b] (matricial) de las matrices [math]A[/math] y [math]B[/math], y lo representamos por [math]A·B[/math] ó simplemente [math]AB[/math], a la matriz que tiene en el elemento de la fila [math]i[/math] y la columna [math]j[/math] el resultado del [b]producto escalar[/b] del vector formado por la fila [math]i[/math] de la matriz [math]A[/math] por el vector formado por la columna [math]j[/math] de la matriz [math]B[/math].[br][br]La matriz [math]AB[/math] es de dimensión [math]m\ x\ p[/math].[br][br][b]Ejemplo 1[br][br][/b]Calculemos el producto de matrices[br][img]http://www.matesfacil.com/matrices/producto2.png[/img][br]Llamaremos A a la matriz de la izquierda y B a la de la derecha. Estas matrices son de dimensiones 2x2, por lo que podemos calcular el producto AB que será una matriz de dimensión 2x2. [/justify][list][*]El elemento de la fila 1 y la columna 1 de AB es el producto escalar de los vectores fila 1 de A y columna 1 de B[/*][/list] [math]\left(2,0\right)·\left(-1,5\right)=2·\left(-1\right)+0·5=-2[/math][br][list][*]El elemento de la fila 1 y la columna 2 de AB es el producto escalar de los vectores fila 1 de A y columna 2 de B[/*][/list] [math]\left(2,0\right)·\left(-1,6\right)=2·\left(-1\right)+0·6=-2[/math][br][list][*]El elemento de la fila 2 y la columna 1 de AB es el producto escalar de los vectores fila 2 de A y columna 1 de B[/*][/list] [math]\left(1,3\right)·\left(-1,5\right)=1·\left(-1\right)+3·5=-1+15=14[/math][br][list][*]El elemento de la fila 2 y la columna 2 de AB es el producto escalar de los vectores fila 2 de A y columna 2 de B[/*][/list] [math]\left(1,3\right)\left(-1,6\right)=1·\left(-1\right)+3·6=-1+18=17[/math][br]Por tanto, el producto es [br][img]http://matesfacil.com/matrices/producto2-3.png[/img][br][br][b][url=http://matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-producto.html]Más ejemplos del producto de matrices[/url][/b]

Comentaremos las propiedades inmediatas de la definición (no las demostraremos). [br][list][*]El producto de matrices [b]no es conmutativo[/b]. Esto quiere decir que la matriz producto [math]AB[/math] puede ser distinta de la matriz producto [math]BA[/math]. De hecho, si las matrices son rectangulares (no cuadradas), entonces uno de los dos productos no puede calcularse (no está definido). En el ejemplo anterior, el producto BA es distinto de AB. [/*][*]La [b]matriz identidad[/b] es el elemento neutro (por la izquierda, por la derecha o por ambos lados) del producto de matrices. La [b]matriz identidad de dimensión [/b][i]n, I,[/i] es la matriz de dimensión [math]n\ x\ n[/math] formada por ceros excepto la diagonal, que está formada por unos. Ejemplos de matrices identidades:[img]http://www.matesfacil.com/matrices/especiales1.png[/img] [/*][*]Consideremos que la dimensión de la matriz identidad I es la adecuada para poder multiplicarse con la matriz A. Entonces, IA=A y AI=A. La matriz identidad es como el número 1 en el producto de los números reales. [/*][*]El producto de matrices diagonales es una matriz diagonal. [/*][*]El producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior). [/*][/list][br]Enlace: [url=http://matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-demostraciones.html]demostraciones de propiedades de las matrices (suma, producto y otras)[/url].

Más información: [br][list][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-suma.html]Suma de matrices (ejemplos)[/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-producto.html]Producto de matrices (ejemplos)[/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-potencias.html]Potencias de matrices[/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-determinantes.html]Determinantes de matrices[/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-inversa-adjunta.html]Inversa de matrices[/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices.htm]Álgebra Matricial[/url][/list]