Stellt man sich die elliptischen Kreise eines Kreisbüschels als bewegte Wellen längs der hyperbolischen Kreise des Büschels vor, dann liegt die Frage nach der Überlagerung zweier solcher Wellenbewegungen nahe: wo [i][b]berühren[/b][/i] sich die Wellen, wo schneiden sie sich senkrecht?[br]Da möbiusgeometrisch [i][b]W-Bewegungen[/b][/i] aus Kreisbewegungen einfach durch Drehstreckung entstehen, kann man die Frage allgemeiner formulieren:[br][list][*][i][b]Wo berühren sich die W-Kurven zweier W-Bewegungen? [/b][/i][/*][/list]Wir erinnern daran, dass für eine W-Bewegung [math]t\mapsto\mathbf{exp}\,t\cdot\mathbf\vec{g}, \mbox{ mit }\mathbf\vec{g}\in \mathbf\mathcal{G}[/math] ein Berührgeradenvektor [math]\mathbf\vec{p}\in\mathbf\mathcal{G} \mbox{ mit } \mathbf\vec{p}^2=0 [/math] dann und nur dann tangential an die W-Kurve ist, wenn [math]\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{p}\in \mathbb{R}^*[/math] gilt.[br]Die Bahnkurven zweier Infinitesimalen [math]\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\in\mathbf\mathcal{G} [/math] berühren sich in einem Punkt, wenn eine Berührgerade [math]\mathbf\vec{p}[/math] in diesem Punkt beide Bahnkurven berührt. Das ist genau dann der Fall, wenn [math]\frac{\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{p}}{\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{p}}\in\mathbb{R}[/math] in diesem Punkt gilt - und zwar unabhängig von der komplexen Normierung - dh. es gilt dann [math]\frac{\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{p}}{\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{p}}=\overline{\left(\frac{\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{p}}{\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{p}}\right)}[/math] oder [math]\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{p}\cdot\overline{\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{p}}-\overline{\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{p}}\cdot\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{p}=0[/math] für jeden Berührgeradenvektor in diesem Punkt. [br]Wir definieren die antilineare Abbildung als [i][b]HERMITE[/b]sches Produkt[/i] [br][list][*][math]\mathbf\vec{g}_1 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_2\,\left(\mathbf\vec{g}\right):=-\frac{i}{2}\left(\overline{\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{g}}\cdot\mathbf\vec{g}_1-\overline{\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}}\cdot\mathbf\vec{g}_2\right),\;\mathbf\vec{g}\in\mathbf\mathcal{G}[/math][br][/*][/list]und stellen fest: [math]H=\mathbf\vec{g}_1 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_2[/math] ist eine [i][b]HERMITE[/b][/i]sche Abbildung, d.h. es gilt [math]H\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\hat{\vec{g}}=\overline{\mathbf\vec{g}\bullet H\mathbf\hat{\vec{g}}} \mbox{ für alle }\mathbf\vec{g},\mathbf\hat{\vec{g}}\in \mathbf\mathcal{G}[/math].[br][br][i][b]Fazit: [/b][/i]Der Ort, in dem die W-Kurven der zwei W-Bewegungen [math]\mathbf{exp}\,t\mathbf\vec{g}_1 \mbox{ und }\mathbf{exp}\,s\mathbf\vec{g}_2,\;s,t\in\mathbb{R}[/math] sich berühren, ist die [i][b]spezielle bizirkulare Quartik[/b][/i][br][list][*][math]\mathbf\vec{g}_1 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_2\left(\mathbf\vec{p},\mathbf\vec{p}\right)=\mathbf{Im}\left(\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{p}\cdot \overline{\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{p}}\right)=0\;\mbox{ für }\mathbf\vec{p}\in\mathbf\mathcal{G},\,\mathbf\vec{p}\bullet\mathbf\vec{p}=0[/math] [br][/*][/list]"[i]Bizirkulare Quartik[/i]": in jedem euklidischen KOS erhalten wir für [math]\mathbf\vec{p}=\mathbf\vec{p}\left(z\right)[/math] eine Quartik der Form [br][list][*][math]q\left(z\right):=\alpha_1\left(z\,\overline{z}\right)^2+\left(\alpha_2\,x+\alpha_3\,y\right)\cdot z\overline{z}+\alpha_4\,x^2+\alpha_5\,xy+\alpha_6\,y^2+\alpha_7\,x+\alpha_8\,y+\alpha_9=0[/math][br][/*][/list]"[i]Speziell[/i]": die oben definierten Quartiken sind von einem speziellen Typ! Wir erlauben uns, diese [i]speziellen[/i] Quartiken [i][b]CASSINI[/b][/i]-Quartiken zu nennen und begründen diese Namensgebung auf den folgenden Seiten.

[br][b]Schnitt unter einem vorgegebenen Winkel[/b][br][list][*]Die W-Kurven der W-Bewegung [math]\mathbf{exp}\,t\cdot\mathbf\vec{g}_2[/math] schneiden die W-Kurven von [math]\mathbf{exp}\,t\cdot\mathbf\vec{g}_1[/math] unter dem Winkel [math]\varphi\; (\mathbf{mod}\,\pi)[/math] in denjenigen Punkten [math]\mathbf\vec{p}[/math] der Möbiusquadrik, in denen [math]\mbox{ }\left(e^{i\varphi}\mathbf\vec{g}_1\right) \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_2\left(\mathbf\vec{p},\mathbf\vec{p}\right)=\mathbf\vec{g}_1 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \left(e^{-i\varphi}\mathbf\vec{g}_2\right)\left(\mathbf\vec{p},\mathbf\vec{p}\right)=0[/math] gilt.[/*][*]Ein Punkt [math]\mathbf\vec{p}[/math] liegt genau dann auf der Quartik, wenn [math]\mathbf\vec{p}[/math] Pol einer der Infinitesimalen [math]\lambda\cdot\mathbf\vec{g}_1+\mu\cdot\mathbf\vec{g}_2,\;\lambda,\mu\in \mathbb{R}[/math] ist.[br][/*][/list][u][i]Begründung der 2. Aussage:[/i][/u] Es gelte für einen Berührgeradenvektor [math]\mathbf\vec{p}[/math]: [math]\mathbf{Im}\left(e^{i\varphi}\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{p}\cdot \overline{\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{p}}\right)=0[/math]. Dies ist unabhängig von der komplexen Normierung von [math]\mathbf\vec{p}[/math]. Wir können daher durch geeignete Drehung von [math]\mathbf\vec{p}[/math] erreichen, dass [math]\mathbf\vec{g}_2\bullet \mathbf\vec{p}\in\mathbb{R}[/math] gilt: dh. [math]\mathbf\vec{p}[/math] berührt die zu [math]\mathbf\vec{g}_2[/math] gehörende W-Kurve. Nach Voraussetzung ist dann aber auch [math]\left(e^{i\varphi}\mathbf\vec{g}_1\right)\bullet\mathbf\vec{p}=\mathbf\vec{g}_1\bullet \left(e^{i\varphi}\mathbf\vec{p}\right)\in\mathbb{R}[/math]. Der um [math]\varphi[/math] gedrehte Berührgeradenvektor [math]e^{i\varphi}\mathbf\vec{p}[/math] ist also tangential an die zu [math]\mathbf\vec{g}_1[/math] gehörende W-Kurve: die beiden W-Kurven schneiden sich in dem zu [math]\mathbf\vec{p}[/math] gehörenden Punkt unter dem Winkel [math]\varphi[/math].[br][br][u][i]Begründung der 3. Aussage:[/i][/u] [br]Die Gleichung [math]\left(\lambda\cdot\mathbf\vec{g}_1+\mu\cdot\mathbf\vec{g}_2\right)\bullet\mathbf\vec{p}=0[/math] ist genau dann lösbar, wenn [math]\mathbf{Im}\left(\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{p}\cdot \overline{\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{p}}\right)=\mathbf\vec{g}_1 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_2\left(\mathbf\vec{p},\mathbf\vec{p}\right)=0[/math] ist.[br][br]Die 3. Aussage läßt eine bemerkenswerte Interpretation zu: Die reell-2-dimensionalen Unterräume von [math]\mathbf\mathcal{G}[/math], also die reellen GERADEN (*s.u.) in [math]\mathbf\mathcal{G}[/math], sind die gesuchten [i][b]Berühr-Orte[/b][/i]. Aus diesem Grunde haben wir das Symbol [math]\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}[/math] für das [i][b]HERMITE[/b][/i]sche Produkt zweier Vektoren aus [math]\mathbf\mathcal{G}[/math] gewählt. Das "underline"-h steht für [i][b]HERMITE[/b][/i]sch. Die [i][b]HERMITE[/b][/i]schen Produkte [math]\mathbf\vec{g}_1 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_2[/math] erzeugen den Vektorraum der [i][b]HERMITE[/b][/i]schen Abbildungen [math]\mathbf\mathcal{H}[/math] von [math]\mathbf\mathcal{G}[/math], eine Basis ist beispielweise, ausgehend von einer euklidischen Basis in [math]\mathbf\mathcal{G}[/math]:[br][br][math]\mbox{ }\mathbf\vec{p}_\infty\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}i\cdot\mathbf\vec{p}_\infty,\;\mathbf\vec{p}_0\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}i\cdot\mathbf\vec{p}_0,\;\mathbf\vec{g}_0\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}i\cdot\mathbf\vec{g}_0,\;\mathbf\vec{p}_\infty\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\mathbf\vec{p}_0,\;\mathbf\vec{p}_\infty\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}i\cdot\mathbf\vec{p}_0,\;\mathbf\vec{p}_\infty\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\mathbf\vec{g}_0,\;\mathbf\vec{p}_\infty\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}i\cdot\mathbf\vec{g}_0,\;\mathbf\vec{p}_0\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\mathbf\vec{g}_0,\;\mathbf\vec{p}_0\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}i\cdot\mathbf\vec{g}_0[/math].[br][br]Der Vektorraum [math]\mathbf\mathcal{H}[/math] der [i][b]HERMITE[/b][/i]schen Formen ist reell 9-dimensional, man vergleiche dazu auch die oben angegebene allgemeine Gleichung von bizirkularen Quartiken. [br]Wir werden später zeigen, dass dies nicht ohne Grund dieselbe Dimension ist wie die aller quadratischen Formen (mit Spur 0) des Möbiusvektorraumes [math]V_4,\left(+,+,+,-\right)[/math].[br][i][b]Kurz angedeutet:[/b][/i] Nullstellen HERMITEscher Formen sind die Schnitte der Möbiuskugel mit einer 2.ten Quadrik![br][br][size=85](*) Damit die Sprachverwirrung sich in Grenzen hält, kennzeichnen wir "Geraden" im Geradenraum, also 2-dimensionale Unterräume des Geradenvektorraumes mit Majuskeln: GERADEN.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size][/size]