Consideriamo il caso di [b]due rotazioni di stesso centro e angoli diversi[/b].[br][br][b]Teorema 1:[/b] date due rotazioni di centro C e angoli rispettivamente [i]α[sub]1[/sub][/i] e [i]α[sub]2[/sub][/i] la loro composizione è una rotazione di centro C e angolo [i]α[sub]1[/sub]+α[/i][sub][i]2[/i][br][/sub][br]Aiutati con la costruzione per capire cosa succede.

Per dimostrare il [b]Teorema 1 [/b]bisogna comporre le due rotazioni cioè applicare al punto [i][math](x,y)[/math][/i] la rotazione di centro C e angolo [i]α[sub]1[/sub][/i] e poi applicare al punto [i][math](x',y')[/math][/i], trasformato di [i][math](x,y)[/math][/i], la rotazione di centro C e angolo [i]α[sub]2[/sub][/i].[br]Vediamo i conti passo per passo utilizzando la notazione algebrica:[br][br][i][center][math]\begin{cases}x'=(x-x_C)\cdot cos(α_1)-(y-y_C)\cdot sin(α_1)+x_C\\[br]y'=(x-x_C)\cdot sin(α_1)+(y-y_C)\cdot cos(α_1)+y_C\end{cases}\\[br]\begin{cases}x''=(x'-x_C)\cdot cos(α_2)-(y'-y_C)\cdot sin(α_2)+x_C\\[br]y'=(x'-x_C)\cdot sin(α_2)+(y'-y_C)\cdot cos(α_2)+y_C\end{cases}[/math][/center][/i][br]Inserendo le equazioni del primo sistema nel secondo si ha:[br][br][i][center][math]\begin{cases}x''=((x-x_C)\cdot cos(α_1)-(y-y_C)\cdot sin(α_1)+x_C-x_C)\cdot cos(α_2)-((x-x_C)\cdot sin(α_1)+(y-y_C)\cdot cos(α_1)+y_C-y_C)\cdot sin(α_2)+x_C\\[br]y''=((x-x_C)\cdot cos(α_1)-(y-y_C)\cdot sin(α_1)+x_C-x_C)\cdot sin(α_2)+((x-x_C)\cdot sin(α_1)+(y-y_C)\cdot cos(α_1)+y_C-y_C)\cdot cos(α_2)+y_C\end{cases}[/math][/center][/i][br]E utilizzando le formule trigonometriche si arriva alle seguenti equazioni:[br][br][i][center][math]\begin{cases}x''=(x-x_C)\cdot cos(α_1+α_2)-(y-y_C)\cdot sin(α_1+α_2)+x_C\\[br]y''=(x-x_C)\cdot sin(α_1+α_2)+(y-y_C)\cdot cos(α_1+α_2)+y_C\end{cases}[/math][/center][/i][br]Il sistema scritto sopra rappresenta una rotazione di centro C e angolo [i]α[sub]1[/sub]+α[sub]2[/sub][/i].[br][br][b]Osserva[/b]: è possibile ottenere lo stesso risultato anche utilizzando le equazioni in forma matriciale.

Conideriamo ora la [b]composizione di due rotazioni di centro diverso[/b] [b]e angolo rispettivamente [i]α[sub]1[/sub][/i] e [i]α[sub]2[/sub][/i][/b].[br][br][b]Teorema 2:[/b] date due rotazioni di centri diversi C[sub]1[/sub] e C[sub]2[/sub] e angolo [i]α[sub]1[/sub][/i] e [i]α[sub]2[/sub][/i] la loro composizione è una rotazione di centro C[sub]3[/sub] e angolo [i]α[sub]1[/sub]+α[sub]2[/sub][/i].[br][br]Visualizziamo il risultato con la seguente costruzione:

Prendiamo due coppie di punti del tipo (punto;trasformato del punto), ad esempio nella figura abbiamo considerato (A,A") e (C,C") e per ogni coppia tracciamo l'asse del segmento che unisce i due punti.[br]Per definizione abbiamo che l'asse di un segmento è il luogo dei punti del piano equidistandi dagli estremi del segmento, inoltre per come abbiamo definito la rotazione dati un punto e il suo trasformato la loro distanza dal centro deve essere la stessa.[br]Quindi il centro della rotazione dovrà trovarsi sia sull'asse del segmento A"A sia sull'asse del segmento C"C, di conseguenza per trovarlo ci basta intersecare i due assi.

[b]Teorema 3:[/b] date due rotazioni di centri diversi e angolo [i]α[/i] rispettivamente orientato in senso orario e in senso antiorario, la loro composizione è un traslazione[br][br]Osserva la seguente costruzione per capire meglio il risultato:

Il [b]Teorema 3 [/b]è un caso particolare del [b]Teorema 2 [/b]ottenuto imponendo [i][math]α_1=-α [/math][/i]e [i][math]α_2=α[/math][/i].