Johannes Kepler änderte unser Verständnis für die Bewegung von Planten um ein Zentralgestirn, indem er 3 grundlegende Gesetzmäßigkeiten fand, denen diese Bewegungen genügen.[br][br][list=1][*]Kepler'sches Gesetz: Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne, die in einem der Fixpunkte steht.[/*][*]Kepler'sches Gesetz: Die Verbindungslinie Sonne-Erde (Fahrstrahl) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.[/*][*]Die Quadrate der Umlaufzeiten T zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a ihrer Bahnen: [math]\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}[/math][/*][/list][br]In diesem Applet können Sie die Aussagen und einige Konsequenzen der beiden ersten Kepler'schen Gesetze überprüfen. Dazu ist die Erdbahn wesentlich exzentrischer dargestellt als dies tatsächlich der Fall ist.[br]
Welche Auswirkungen hat das 2. Kepler'sche Gesetz auf die Geschwindigkeit der Erde auf ihrer Bahn um die Sonne? (Sie können sich den Geschwindigkeitsvektor anzeigen lassen.)
Die Geschwindigkeit der Erde ist nicht konstant. Im sonnennächsten Punkt - dem Perihel - ist sie am größten. Sie nimmt auf dem Weg zum sonnenfernsten Punkt - dem Aphel - ab und ist im Aphel am geringsten bevor sie auf dem Weg zum Perihel wieder zunimmt.
Begründen Sie mit dem Newton'schen Gravitationsgesetz (dieses war Kepler noch nicht bekannt) warum die Geschwindigkeit der Erde variiert. [br][br]In welche Richtung zeigt die Kraft, die die Sonne auf die Erde ausübt in jedem beliebigen Punkt des Orbits?[br][br]Zerlegen Sie anschließend die Kraft in einen Teil tangential ([math]\vec{F}_{tan}[/math]) und einen Teil normal ([math]\vec{F}_n[/math]) zur Bahn. Was bewirken diese beiden Teilkräfte?
Die Gravitationskraft, die die Sonne auf die Erde ausübt, wirkt immer entlang der Verbindungslinie Sonne-Erde. [br][br]Man kann diese Kraft in zwei Teile zerlegen. [math]\vec{F}_{tan}[/math] zeigt tangential zur Bahn, auf der sich die Erde bewegt. Auf dem Weg vom Perihel zum Aphel zeigt dieser tangentiale Teil der Kraft entgegen der Bewegungsrichtung der Erde - die Erde wird also abgebremst.[br]Auf dem Weg vom Aphel zum Perihel zeigt der tangentiale Teil der Kraft in Bewegungsrichtung der Erde - die Erde wird also beschleunigt.[br][br][math]\vec{F}_n[/math] steht senkrecht zur Bahn der Erde und wirkt als Zentripetalkraft und krümmt somit die Bahn der Erde.
Im Jahr 1605 hat Kepler die Bewegung der Erde berechnet. Dieses Applet zeigt die Kepler'sche Konstruktion, wie sie auf der folgenden Seite dargestellt ist: [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Kepler-Gleichung]https://de.wikipedia.org/wiki/Kepler-Gleichung[/url].[br][br]Die große Halbachse a ist beliebig auf 4 Einheiten festgelegt worden, so dass die Umlaufdauer [math]T=\sqrt{a^3}\cdot365.25=2922[/math] beträgt.[br]Angezeigt wird als Winkel [math]T_A[/math] die sogenannte wahre Anomalie - der Winkel, den die Erde aus Sicht der Sonne überstrichen hat.[br][br]Wichtig für die Konstruktion ist die sogenannte mittlere Anomalie [math]M=\frac{2\pi\cdot t}{T}[/math].[br]Kepler konstruierte einen Kreis um den Mittelpunkt [math]O[/math] der Ellipse mit dem Radius [math]a[/math]. Auf diesen Kreis wird die Stellung der Erde projiziert, was den Punkt [math]X[/math] ergibt. Der Winkel [math]\angle PerihelOX[/math] heißt exzentrische Anomalie [math]E[/math]. Diese ist über die Kepler-Gleichung [math]M=E-e\cdot\sin E[/math] mit der mittleren Anomalie verknüpft, wobei e die numerische Exentrizität der Ellipse ist. Bei bekanntem M und e kann man die Nullstellen der transzendenten Kepler-Gleichung finden, in dem man in Geogebra zwei Funktionen [math]f_{Kepler,1}\left(x\right)=e\cdot\sin x+M[/math] und [math]f_{Kepler,2}\left(x\right)=x[/math] definiert und sich den Schnittpunkt der beiden Graphen der Funktionen durch Geogebra ermitteln lässt. Die senkrechte Projektion von [math]X[/math] auf den Orbit ergibt die Position der Erde.[br]Um den Punkt [math]Y[/math] und somit den Punkt der Erde auf dem Orbit zu finden, an dem sich die Erde eine Zeitspanne [math]\Delta t[/math] zuvor befunden hat, geht man genauso vor wie für den Punkt [math]X[/math]. Man berechnet mit einer Zeit [math]t'[/math] eine mittlere Anomalie [math]M'[/math] und erhält das gewünschte Ergebnis.