Notationen[br][br][math]B=\left\{b1,b2,b3\right\}[/math] ist Basis eines Vektorraumes.[br]{[size=85]b1,b2,b3[/size]} spaltenweise zu einer Matrix angeordnete Basisvektoren der Ausgangsbasis B.[br][table][tr][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon][/td][td][size=85][color=#1155Cc][b]ggb-Hinweis: [/b]Falls B aus Vektoren besteht muss eine Wandlung in eine Liste erfolgen um damit Matrizen [b]spaltenweise [/b]zusammensetzen zu können b1=(1,1,0) b2=(1,0,1) b3=(0,1,1):[/color][/size][br][i][code]eTb:=Transpose({Flatten(b1),Flatten(b2),Flatten(b3)})[/code][/i][i][br][code]eTb:=[/code]Transpose(Identity(3) {b1,b2,b3})[/i] [br][math]eTb \, := \, \left(\begin{matrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\\\end{matrix}\right)[/math][br][size=85][color=#1155Cc]Erstellt die Matrix aus den Basisvektoren.[/color][/size][/td][/tr][/table][math]eTb[/math] beschreibt eine Basiswechselmatrix von B in die Standardbasis E={[size=85]e1,e2,e3[/size]}={[size=85](1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)[/size]}[sup]T[/sup],[br][math]eTb^{-1}=bTe[/math] beschreibt eine Basiswechselmatrix von der Standardbasis E nach B.[br][br][color=#a61c00]Allgemeine Schreibweisen[/color]: [sub]nach[/sub]Matrix[sub]von[/sub] oder Matrix[math]\begin{matrix}nach\\von\end{matrix}[/math] auch Matrix[sub]von,nach[/sub] usw...[br][size=85]Ich bevorzuge die erste Version, weil beim Schreiben von aufeinanderfolgenden Basiswechselmatrizen deutlich wird welche Basisversionen aufeinandertreffen und ich kontrollieren kann ob die Basisvektoren auch zusammenpassen! z.B.:[/size][br][br]Eine Basiswechselmatrix von B nach B' würde dann [math]b'Tb[/math] heißen und durch zwei zusammengesetzte [br]Abbildungsmatrizen beschrieben werden können:[br]- von B nach E und von E nach B' [br]- Aufsammeln der Basisvektoren [math]eTb[/math]=B={[size=85]b1,b2,b3[/size]}, [math]eTb'[/math]=B'={[size=85]b1',b2',b3'[/size]} [br]- und invertieren der Ziel-Basiswechselmatrix B' [br][br][b][color=#980000]([sup]1[/sup])[/color][/b] [math]b'Tb=b'T\textcolor{red}{e \cdot e}Tb=eTb'^{-1}\cdot eTb[/math] [br][br]Allgemeines Grundprinzip:[br]Sei B=[size=85]{b1,b2,..,bn}[/size] Basis eines Vektorraumes in Koordinaten der Einheitsbasis und V=[size=85]{v1,v2,..,vn}_B[/size] Vektoren in B-Koordinaten dann stellt V die Wechselmatrix V->B dar V= bTv . [br]

Die einer linearen Abbildung f zugeordnete Matrix A kann grundsätzlich durch Abbildung der[br]Basisvektoren erzeugt werden. [br][br][math]\text{f(x) = A\cdot x}\rightarrow\left\{\{f(b_1),f(b_2),f(b_3)\right\}\cdot x[/math] [br][br]Soll f in einer anderen Basis C={[size=85]c1,c2,c3[/size]} beschrieben werden, als cfc, dann müssen für die[br]Abbildungsmatrix cAc[br][list][*]die C Basisvektoren abgebildet werden [br][math]A\cdot\left\{c_1,c_2,c_3\right\}=\left\{A\cdot c_1,A\cdot c_2,A\cdot c_3\right\}[/math][/*][*]die dann mit den Koordinaten [math]a_{ij}[/math] der C Basis beschrieben werden[br][/*][*][math]a11\cdot c1+a21\cdot c2+a31\cdot c3 = A\cdot c1 \\[br]a12\cdot c1+a22\cdot c2+a32\cdot c3 = A\cdot c2 \\[br]a13\cdot c1+a23\cdot c2+a33\cdot c3 = A\cdot c3[/math][br][/*][/list][table][tr][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon][/td][td][color=#1155Cc][size=85][b]ggb-Hinweis:[/b] CAS-schreibweise um ohne Gleichheitszeichen auszukommen (=0 kann unterbleiben)[/size][/color][br][math]\left\{a11\cdot c1+a21\cdot c2+a31\cdot c3 - A\cdot b1 , a12\cdot c1+a22\cdot c2+a32\cdot c3 - A\cdot c2 , a13\cdot c1+a23\cdot c2+a33\cdot c3 - A\cdot c3\right\}[/math][br][/td][/tr][/table][br][list][*]aus den Koordinatengleichungen sammele ich die [math]a_{ij}[/math] (das sind die Koordinaten der Bildvektoren entsprechend der Basis C) in einer Matrix Ao auf[br][/*][*] [math]Ao\cdot \left\{c_i\right\} \rightarrow \left(\begin{matrix}a_{i1}\\a_{i2}\\a_{i3}\end{matrix}\right) \cdot c_i [/math] (i te Zeile Ao * Basisvektor [math]c_i[/math] ) und erhalte [br]die Matrixgleichung[br][/*][*][b][color=#980000]([sup]2[/sup])[/color][/b] [math]eTc\cdot A_o=A\cdot eTc[/math] mit [math]A_o=a_{ij}\left(Zeile\rightarrow i=1..n,Spalte\rightarrow j=1..n,\right)[/math] [math]cfc=A_{a_{ij}}[/math] [br][/*][/list][table][tr][br][td]Mit ([sup]2[/sup]) kann auch matrizengemäß weitergerechnet werden[br][b][color=#980000]([sup]3[/sup])[/color][/b][math]A_o =eTc^{-1} \cdot A\cdot eTc[/math] [br]mit ([sup]1[/sup]) [math]A_o =cTe \cdot A\cdot eTc[/math][br][math]cfc(v_b)=(cTe\cdot A\cdot eTc)\cdot v_c[/math][br][/td][td][size=85][i][br]was von rechts nach links gelesen heißt: [br]ein Vektor [math]v_c[/math] wird von Basis C nach Basis E überführt, [br]mit A abgebildet und wieder von Basis E nach Basis C konvertiert[/i][/size] [br][/td][/tr][/table]