Eine Feuerwerksrakete wird in die Luft geschossen. Der Funktionsterm[br][math]f\left(x\right)=-0,488x^2+24,4x+0,5[/math] beschreibt dabei die Höhe der parabelförmigen Flugbahn in m. [br]Der Wert x gibt dabei die Entfernung zu Abschusspunkt in m. [br][br][u][b]Arbeitsanweisung[/b][/u][br]1. Lies dir den folgenden Infotext zur Lösung von quadratischen Gleichungen durch.[br]2. Wie viele Meter nach dem Abschuss berührt die Rakete wieder den Boden?
Für die Nullstellen gilt:[br]f(x) = 0[br][br]Zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] wird die abc-Formel oder die pq-Formel verwendet. Die zu lösende Gleichung lautet:[u][b][br][br]pq-Formel:[/b][/u][br][math]x^2+px+q=0[/math][br][br][math]x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}[/math][br][br]Hinweis: Ist die Gleichung in der Form [math]ax^2+px+q=0[/math] gegeben, muss die gesamte Gleichung durch a geteilt werden. Erst dann kann die p,q- Formel angewendet werden.[br][br]bzw.[br][br][u][b]Mitternachtsformel:[/b][/u][br][math]ax^2+bx+c=0[/math][br][math]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][br]Beim Lösen von quadratischen Gleichungen kann es keine, eine oder zwei Lösungen geben. Welcher Fall entritt, hängt von dem Vorzeichen unter der Wurzel ab, d.h. vom Term unter der Wurzel (= Diskriminante).[br]
2. Wie viele Meter nach dem Abschuss berührt die Rakete wieder den Boden?[br]Beantworte die Frage rechnerisch.[br]Runde auf 2 Nachkommastellen.[br][br][i]Hilfestellung: Du kannst dir die Funktion im GeoGebra-Applet anzeigen lassen (Klicke auf den Punkt am linken Seitenrand).[/i]
a)[br]Berechne die Nullstellen folgender Funktionen:[br][br]1) f(x) = [math]x^2+3x+1[/math][br]2) g(x) = [math]x^2-2x+1[/math][br]3) h(x)= [math]3x^2-2x+2[/math][br][br][i]Kontrolle: Zur Kontrolle deiner Lösung, kannst du dir die einzelnen Funktionen im GeoGebra-Applet anzeigen lassen (Klicke auf die Punkte der Funktionen f(x), g(x) und h(x) am linken Rand).[/i]
b) Überlege dir die Antwort auf folgende Frage:[br]Wovon hängt die Anzahl der Nullstellen ab? Ergänze folgende Regel.[br][br][u][b]Regel:[/b][/u] Die Diskriminante D ist der Term unter der Wurzel.[br]Ist D = 0, besitzt die Funktion ............................... Nullstelle (Berührstelle).[br]Ist D < 0, besitzt die Funktion ....................................... Nullstelle.[br]Ist D > 0, besitzt die Funktion ....................................... Nullstellen.[br]