[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/ggga8xmv][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACUAAAA2CAYAAABA3FA2AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAACpSURBVGhD7dkxCsJAFEXR/wZiJWJhIW7MUnApriwLEFdhZy0iiN8M2tjdLr94h8wEUt3yQaRhyMiMiH7mpulRv0vU/Gm/dymOohxFOYpyFOUoylGUoygdd9tye0qv1upFTUVenoSjKEdRjqIcRTmKchTlKErX/abgyLvUG3nKs5cn4ijKUZSjKEdRjqIcRRWN6j9six2dxkMu9YiV7t+Ps8l45iJu73V8AE/fHKUjFbbZAAAAAElFTkSuQmCC[/img][/url][/td][td][size=50] this activity is a page of [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][br] [url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt][color=#0000ff][u][i][b]elliptic functions & bicircular quartics & . . .[/b][/i][/u][/color][/url]([color=#ff7700][i][b]27.04.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][br][size=85][i][right][color=#ff00ff]translation is in progress[/color][/right][/i][/size]

[size=85]Die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] eines [b][i][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüschels[/color][/i][/b] durch [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [b][color=#00ff00]f[sub]1[/sub][/color][/b], [b][color=#00ff00]f[sub]2[/sub][/color][/b] sind als [b][i][color=#0000ff]Bahnkurven[/color][/i][/b] durch die [br][/size][list][*][size=85][b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] [math]p'=\frac{\left(p-f_1\right)\cdot\left(p-f_2\right)}{\left(f_1-f_2\right)}[/math][br][/size][/*][/list][size=85]charakterisiert. Die [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] erzeugt in der [b][i]komplexen Ebene[/i][/b] [math]\mathbb{C}[/math] ein [b][i][color=#00ffff]Vektorfeld[/color][/i][/b], deren [b][i][color=#38761d]Lösungskurven[/color][/i][/b] [br]die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] durch [size=85] [b][color=#00ff00]f[sub]1[/sub][/color][/b], [b][color=#00ff00]f[sub]2[/sub][/color][/b][/size] sind.[br]Ein zweites [b][i][color=#ff0000]elliptisches Kreisbüschel[/color][/i][/b] mit den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] [size=85] [b][color=#00ff00]f[sub]3[/sub][/color][/b], [b][color=#00ff00]f[sub]4[/sub][/color][/b] wird durch eine analoge [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] beschrieben.[br][br]Das "[b][i]Produkt[/i][/b]" [/size][br][/size][list][*][size=85] [math]\left(g'\right)^2=\frac{\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)}{f_1-f_2}\cdot\frac{\left(g-f_3\right)\cdot\left(g-f_4\right)}{f_3-f_4}[/math] ist die [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] einer [b][i][color=#ff00ff]elliptischen Funktion[/color][/i][/b] [math]z\mapsto g\left(z\right)[/math], [br]wenn die [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] verschieden sind.[/size][/*][/list][size=85]Die [b][i][color=#38761d]Lösungskurven[/color][/i][/b] dieser [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] sind [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierende[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] aus den [br]beiden [b][i][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüscheln[/color][/i][/b]:[br]Durch jeden [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] der Ebene (von den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] abgesehen) geht aus jedem der beiden [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b] genau ein [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b].[br]Man lege im obigen Applet die [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]p[sub]2[/sub][/color][/b] und [b][color=#ff0000]p[/color][/b] übereinander ([/size][size=85][b][color=#ff0000]p[sub]2[/sub][/color][/b] [math]\longrightarrow[/math] [b][color=#ff0000]p[/color][/b][/size][size=85]); es ist dann [math]g'=\sqrt{p'\cdot p'_2}[/math], das ist genau[br]die [b][i][color=#0000ff]winkelhalbierende[/color][/i][/b] Richtung; eine Folge der geometrischen Eigenschaften der [b][i]komplexen Multiplikation[/i][/b]![br] [br]Ein analoges Ergebnis erhält man, wenn eines der beiden [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]hyperbolisch[/color][/i][/b] ist; die [b][i][color=#38761d]Lösungskurven[/color][/i][/b] schneiden [br]die des 1. Beispiels unter [b][color=#cc0000]45°[/color][/b].[/size]