[br]Zbadamy różniczkowalność funkcji określonej wzorem [math]f(x)=[br]\begin{cases}e^{10x}-1 \text{ dla x\leq 0}, \\ \sqrt[3]{x} \text{ dla x> 0}. \end{cases}[/math][br][br][u]Rozwiązanie[/u]:[br]Rozważmy pomocnicze funkcje [math]f_1[/math], [math]f_2[/math] takie, że [math]f(x)=f_1(x)[/math] dla [math]x>0[/math] oraz [math]f(x)=f_2(x)[/math] dla [math]x\le0[/math]. Ponieważ funkcje te są różniczkowalne dla [math]x\ne0[/math], więc [math]f'(x)=f'_1(x)[/math] dla [math]x>0[/math] oraz [math]f'(x)=f'_2(x)[/math] dla [math]x<0[/math]. Jedynym punktem, w którym funkcja [math]f[/math] może nie być różniczkowalna jest punkt ,,sklejenia funkcji", czyli punkt [math]0[/math]. Sprawdzimy zatem, czy [math]f'(0^+)=f'(0^-)[/math].

Z obliczeń w wierszu 5 i 6 wynika odpowiednio, że [math]f'(0^+)=+\infty[/math] oraz [math]f'(0^-)=10[/math]. Ponieważ [math]f'(0^+)\ne f'(0^-)[/math], więc funkcja [math]f[/math] jest nie jest różniczkowalna w [math]0[/math]. Ostatecznie mamy [center][math]f(x)=[br]\begin{cases}10e^{10x} \text{ dla x< 0}, \\ \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \text{ dla x> 0}.\end{cases}[/math][/center]

Co można powiedzieć o różniczkowalności funkcji [math]f_1[/math] w [math]0[/math]?

Zmodyfikuj wzór funkcji [math]f[/math] zmieniając jej definicję dla [math]x>0[/math] tak, aby [math]f[/math] była różniczkowalna w [math]0[/math].