[size=150][color=#ff0000]LA FUNZIONE ESPONENZIALE - LIMITI ED ASINTOTI[/color][/size][br]Proseguiamo il nostro percorso di ripasso delle funzioni già incontrate precedentemente. È il turno della funzione esponenziale, con cui introdurremo il concetto di [b]LIMITE[/b], che ci permette di studiare l'andamento della funzione quando ci "avviciniamo" a determinati valori di input, e quello di [b]ASINTOTO[/b], che formalizza i casi in cui la funzione, in alcuni suoi tratti, imita il comportamento di una retta.

Le ultime osservazioni, fatte per il caso con base maggiore di 1, possono essere svolte in modo analogo per il caso quando [b]la base [math]\large{a}[/math] è MINORE di 1[/b]:[br][list][*][math]\Large{\lim_{\textcolor{blue}{x \to +\infty}}{\textcolor{red}{a^x}} = \textcolor{red}{0}}[/math], cioè [color=#0000ff][b]più l'esponente [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] tende a valori grandi[/b][/color], [color=#ff0000][b]più il risultato di [math]\large{\textcolor{red}{a^x}}[/math] si avvicina a [/b][/color][math]\large{\textcolor{red}{0}}[/math];[/*][br][*]Questo limite ci dice anche che per [math]\large{\textcolor{blue}{x \to +\infty}}[/math] la funzione si allinea al valore [math]\large{\textcolor{red}{0}}[/math] della [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math], quindi[b] la retta [math]\large{\textcolor{red}{y=0}}[/math] è un asintoto orizzontale della funzione per [math]\large{\textcolor{blue}{x \to +\infty}}[/math][/b],[/*][br][*][math]\Large{\lim_{\textcolor{blue}{x \to -\infty}}{\textcolor{red}{a^x}} = \textcolor{red}{+\infty}}[/math], cioè [color=#0000ff][b]più l'esponente [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] tende a valori grandi NEGATIVI[/b][/color], [color=#ff0000][b]più il risultato di [math]\large{\textcolor{red}{a^x}}[/math] cresce illimitatamente [/b][/color].[/*][br][/list][b]NOTA SUGLI ASINTOTI ORIZZONTALI[/b]: vedremo che in generale gli asintoti orizzontali riguardano il comportamento della funzione all'infinito - quindi quando [math]\large{x\to \pm \infty}[/math]. [br]In particolare [b]si ha un asintoto orizzontale quando per [math]\large{x\to \pm \infty}[/math] l'[i]output[/i] della funzione si avvicina ad un valore [math]\large{N}[/math] numerico finito[/b] (non deve tendere a [math]\large{\pm \infty}[/math], insomma), cioè se:[br][br][math]\Large{\lim_{x\to \pm \infty}{f(x)} = N}[/math][br][br]Tale limite implica infatti che grafico della funzione si "allinea" con la corrispondente retta [math]\large{y=N}[/math], che è appunto orizzontale.[br][br][size=150][color=#ff0000]LA FUNZIONE LOGARITMICA - ANCORA LIMITI E ASINTOTI, PIÙ SIMMETRIE[/color][/size]

[b]GLI ASINTOTI VERTICALI[/b]: in generale gli asintoti verticali riguardano il comportamento della funzione vicino ad un valore finito [math]\large{N}[/math] dell'input [math]\large{x}[/math] - quindi quando [math]\large{x\to \pm N}[/math]. [br][br]In particolare [b]si ha un asintoto verticale quando per [math]\large{x\to \pm N}[/math] l'[i]output[/i] della funzione si avvicina ad un valore infinito[/b] (quindi a [math]\large{\pm \infty}[/math]), cioè se:[br][br][math]\Large{\lim_{x\to N}{f(x)} = \pm \infty}[/math][br][br]Tale limite implica infatti che quando [math]\large{x}[/math] assume valori "vicini" ad [math]\large{N}[/math] il grafico della funzione si "allinea" con la corrispondente retta [math]\large{x=N}[/math], che è appunto verticale.

[size=100][size=150][color=#ff0000]ANCORA SULLE SIMMETRIE[/color][/size][/size][br]Le funzioni esponenziali e logaritmiche offrono molti esempi di simmetrie. Ne approfittiamo per ripassarli e/o conoscerli nella prossima animazione.

Come affermato nell'animazione, è impossibile che la curva di una singola funzione sia simmetrica rispetto all'asse [math]\large{x}[/math], perché richiederebbe che[br][br][math]\large{f(x)=\textcolor{red}{-}f(x)}[/math][br][br]e dato che una funzione ha un solo risultato per ogni valore di input [math]\large{x}[/math], questo è impossibile (o meglio è possibile solo in un caso molto noioso: quale?). [br]Vi sono però funzioni per cui vale [br][br][math]\large{f(x)=\textcolor{red}{-}f(\textcolor{blue}{-}x)\quad \forall x \in \mathbb{D}}[/math][br][br]Cioè il risultato di un qualsiasi valore [math]\large{x}[/math] è [color=#ff0000]l'opposto del risultato[/color] calcolato [color=#0000ff]nel valore opposto[/color] [math]\large{\textcolor{blue}{-}x}[/math]. Si combinano in questo modo sia la [color=#ff0000]simmetria rispetto all'asse [math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math][/color] che quella [color=#0000ff]rispetto all'asse[/color] [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math]. Questo tipo di funzioni sono dette dispari, perché le potenze dispari (e le loro combinazioni) ne l'esempio più semplice Un'altro caso di funzione dispari molto importante è il seno. Per maggiori approfondimenti consulta la [url=https://ggbm.at/H3zKa432]pagina su questo argomento[/url].