[b][size=150][b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b][br]＜微分係数の定義＞[/size][/b][br]・微分係数はｙの増分Δｙをｘの増分Δｘで割った商、[color=#0000ff][b]平均変化率のΔｘ→０のときの極限値[/b][/color]。[br]Δｘ＝ｂ−aで定義した場合は、ｂ→aにしたときの(f(b)-f(a))/(b-a)の極限値[br]Δｘ＝ｈで定義した場合は、ｈ→０にしたときの(f(a+h)-f(a))/hの極限値や[br](f(a)-f(a-h))/hの極限値で定義できるね。[br]・この極限値が存在するときに[color=#0000ff][b]ｘ＝aにおける微分係数[/b][/color]といい、[color=#0000ff][b]ｆ'(a)[/b][/color]とかく。[br]　ｆ（ｘ）は[color=#0000ff][b]ｘ＝aで微分可能[/b][/color]だという。[br]　ｆ（ｘ）がｘ＝aで微分可能ならば、ｘ＝aで連続。[br] 微分係数ｆ’（a)はｙ＝ｆ（ｘ）のｘ＝aにおける接線の[color=#0000ff][b]傾き[slope][/b][/color]でもある。[br]・ｆ（ｘ）が区間（a,b)の各点ｘで微分可能なとき、各点の微分係数f'(x)をｘの関数とみることができる。[br]　それをｆ（ｘ）の[color=#0000ff][b]導関数[derivative][/b][/color]という。[br][b][size=150]＜導関数の定義＞[br][/size][/b]微分係数のx=aの部分をｘにしたものが導関数の平均変化率Δｙ/Δｘの極限dy/dx。[br]dy/dx=lim[sub]h→0[/sub](f(ｘ+h)-f(ｘ))/hやlim[sub]h→0[/sub](f(ｘ)-f(ｘ-ｈ))/h。[br]導関数の定義は微分係数を求めることにつながり、極限値を求めることにも利用できる。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「f'(0)=1のとき、ｘ→0のときの(f(sin3x)-f(0))/xの極限値」は？[br]　(f(sin3x)-f(0))/x=(f(0+sin3x)-f(0))/sin3x・sin3x/3x・３→f'(0)・１・３＝３[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「x→1のとき、logx/(x-1)の極限値」は？[br] f(x)=logxとおくと、f'(x)=1/xだから、ｆ’(1)=1　[br]lim [sub]x→1[/sub]logx/(x-1)=lim[sub]x→1[/sub](logx-log1)/(x-1)=lim[sub]x→1[/sub](f(x)-f(1))/(x-1)=f'(1)=1。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「[math]p\left(x\right)\le f\left(x\right)\le q\left(x\right)[/math] となる関数f(x)のx→0のときの微分係数」は？[br]微分係数を求めるには、分子部分(Δｙ)だけを求め、次にΔｘあたるｈやf(b)-f(a)で割れば良いね。[br]p(0)=q(0)=だから、[math]1\le f\left(0\right)\le1[/math] から、f(0)=1となる。[br]だから、f'(0)の分子部分にあたるf(x)-f(0)は、[math]p\left(x\right)-1\le f\left(x\right)-f\left(0\right)\le q\left(x\right)-1[/math]　と挟めるね。[br]次に、分母のΔｘ、つまりx-0で割った不等式を作る。[br][math]\frac{\left(p\left(x\right)-1\right)}{x}=-3x+2=r\left(x\right),\frac{\left(q\left(x\right)-1\right)}{x}=3x+2=s\left(x\right)[/math] とおき、極限値をはさみうちの原理で決定しよう。[br]x>0のときは、[math]r\left(x\right)\le\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\le s\left(x\right)[/math] となる。右側極限値はx→+0のとき、r(0)=s(0)=2から、2。[br]x<0のときは、[math]r\left(x\right)\ge\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\ge s\left(x\right)[/math]　となる。左側極限値はx→-0のとき、r(0)=s(0)=2から、2。　[br]まとめると、極限値f'(0)は2。

[size=150][color=#9900ff]くわしくは[u][b]こちら[url=https://www.geogebra.org/m/jrgukccb]数学Ⅱ[/url]の微積分[/b][/u]へ[/color][b][br][br]＜基本導関数＞[/b][/size][br]・[color=#0000ff][b]べき関数[Power Rule][/b][/color][br](c)'=0 、（x)'=1、(ax)'=a[size=100] 、[/size][color=#0000ff][size=150](x[sup]n[/sup])'=nx[sup]n-1[/sup][/size][/color] [br]・[color=#0000ff][b]三角関数[trigonometry][/b][/color][br][size=150](sinx)'=cosx[/size][size=150]、(cosx)'=[b][color=#ff0000]-[/color][/b]sinx[/size][size=150]、[color=#0000ff](tanx)′[/color]=[color=#0000ff][b]1/cos[sup]2[/sup]x [/b](-1/tanx)'[b]=1/sin[sup]2[/sup]x[/b][/color][/size][br][color=#0000ff][b]・指数・対数[exponetial/logarithmic][br][/b][/color][size=150](e[sup]x[/sup])′=e[sup]x[/sup]、[size=150][color=#0000ff][b](lnx)′=1/x、[/b][/color][/size][size=150][color=#0000ff](log[sub]a[/sub]x)′=1/(x lna)[/color][/size][/size][br][b][size=150]＜導関数の演算＞[/size][/b][br]・和差と定数倍の微分（[color=#0000ff][b]比例と同じで線形[linear][/b][/color]な性質があるね）[br][size=150](f+g)'=f'+g'、(f-g)'=f'-g' 、[/size]（c・f(x))'=c・f'(x)[br]・積と商の微分[br][size=150][color=#0000ff](fg)'=f'g+fg' 、[/color][/size][size=150][color=#0000ff](1/f)'=-f'/f[/color][color=#0000ff][sup]2[/sup][/color] [/size][size=150][color=#0000ff]、(f/g)'=(f'g-fg')/g[sup]2[/sup][/color][/size] [br][size=150][size=100]・合成関数の微分[color=#0000ff][Chain Rule] 分数のかけ算のように連鎖的にかける。[/color][br][b][math]\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}[/math][/b][/size][/size][color=#0000ff][b][size=150]、ds/dp=ds/dr・dr/dq・dq/dp[br][/size][/b]（例）[br][/color]「y=(x+1)(x[sup]2[/sup]+1)の微分」は？[br] (x+1)'(x[sup]2[/sup]+1)+(x+1)(x[sup]2[/sup]+1)'=(x[sup]2[/sup]+1)+2x(x+1)=3x[sup]2[/sup]+2x+1[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「y=1/x[sup]2[/sup]の微分」は？[br]パワールールを使うと、(x[sup]-2[/sup])'=-2x[sup]-3[/sup]=-2/x[sup]3[br][/sup]逆数微分でやると、-2x/(x[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]=-2/x[sup]3[/sup][br]商の微分でやると、(0-2x)/(x[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]=-2/x[sup]3[/sup][br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「y=ｘlogx, y=x/(x[sup]2[/sup]+1), y=e[sup]-x[/sup]をｘで微分」すると？[br]・y=ｘlogxはｆ=xとｇ=logxの積 だから、積の微分はf'g＋fg'=1・logx+x・1/x=logx+1[br]・y=x/(x[sup]2[/sup]+1)はf=x,とg=x[sup]2[/sup]+1の商だから、[br] 商の微分は(f'g-fg')/g2=(1・(x[sup]2[/sup]+1)-x・（2ｘ))/(x[sup]2[/sup]+1)[sup]2[/sup]=(-x[sup]2[/sup]+1)/(x[sup]2[/sup]+1)[sup]2[/sup][br] ・y=e[sup]-x[/sup]はt=-x。y＝e[sup]t[/sup]。の合成だから微分連鎖はdy/dx=dy/dt・dt/dx=e[sup]t[/sup]・(-1)＝-e[sup]-x[/sup][br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「y＝sin[sup]3[/sup](2x+1)をｘで微分」すると？[br] y=p[sup]3[/sup],p=sint, t=2x+1の３回の微分連鎖だね。[br]dy/dx=dy/dp・dp/dt・dt/dx=3p[sup]2[/sup]・cost・2＝３sin[sup]2[/sup](2x+1)・cos(2x+1)・2=6sin[sup]2[/sup](2x+1)cos(2x+1)[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「y＝x[sup]2[/sup]/(2x+1)をｘで微分」すると？[br]商の微分を使うと((x[sup]2[/sup])'(2x+1)-(x[sup]2[/sup])(2x+1)')/(2x+1)[sup]2[/sup][br]=(2x(2x+1)-2(x[sup]2[/sup]))/(2x+1)[sup]2[/sup]=2x(x+1)/(2x+1)[sup]2[br][b][/b][/sup][size=150][sup][b][br][/b][/sup][/size][size=150][b]＜多項式の微分の利用＞[/b][br][/size]「２次以上の多項式f(x)が(x-a)[sup]2[/sup]で割り切れる」⇔「ｆ(a)=f'(a)=0」[br]準備、F(x)＝(x-a)[sup]2[/sup]Q(x)とおくと、F'(x)=(x-a)(2Q(x)+(x-a)Q'(x))。だから、F(a)=F'(a)=0。[br]「⇒」f(x)が(x-a)2で割り切れるなら、f(x)=F(x)とおける。だから、f(a)=f'(a)=0。[br]「⇐」f(x)=F(x)+px+qとおくと、f(a)=F(a)+pa+q=pa+q=0と、f'(a)=F'(a)+p=p=0となる。[br]　だから、p=q=0なので、f(x)=F(x)だから、f(x)は(x-a)[sup]2[/sup]で割り切れる。[br]微分を使うと、２項係数の性質も導ける。[br]・[sub]n[/sub]C[sub]1[/sub]+2[sub]n[/sub]C[sub]2[/sub]+3[sub]n[/sub]C[sub]3[/sub]+.....+n[sub]n[/sub]C[sub]n[/sub]=n2[sup]n-1[br][/sup]２項定理から(1+x)[sup]n[/sup]=[sub]n[/sub]C[sub]0[/sub]1+[sub]n[/sub]C[sub]1[/sub]x+[sub]n[/sub]C[sub]2[/sub]x[sup]2[/sup]+[sub]n[/sub]C[sub]3[/sub]x[sup]3[/sup].....+[sub]n[/sub]C[sub]n[/sub]x[sup]n[/sup][sup][br][/sup]両辺微分してn(1+x)n-1=[sub]n[/sub]C[sub]1[/sub]1+2[sub]n[/sub]C[sub]2[/sub]x+3[sub]n[/sub]C[sub]3[/sub]x[sup]2[/sup].....+n[sub]n[/sub]C[sub]n[/sub]x[sup]n-1[br][/sup]x=1を代入する。n2[sup]n-1[/sup]=[sub]n[/sub]C[sub]1[/sub]+2[sub]n[/sub]C[sub]2[/sub]+3[sub]n[/sub]C[sub]3[/sub].....+n[sub]n[/sub]C[sub]n[br][/sub]

[b][size=150]＜微分形式dy、dxの利用＞[br]・陰関数の微分[br][/size][/b]ｙ＝の形ではなく、等式の左辺にｘとｙがまざっている陰関数形式の微分の注意点。[br][color=#0000ff][b]変数ｙを定数ではなく関数として扱う[/b][/color]ことになり、合成関数・積・商などの扱いになる。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「ｘ[sup]2[/sup]+ｘｙ＋y[sup]2[/sup]＝ｋ（定数）をｘで微分」すると？[br](x[sup]2[/sup])’＝2xのように、ｙが入らないと通常通り。[br](y[sup]2[/sup])は合成関数扱いになる。[color=#0000ff][b]d(y[sup]2[/sup])/dy・dy/dx=2y・y'[/b][/color][br](xy)'は積の微分扱いになる。[color=#0000ff][b](xy)'=x'y+xy'=y+xy'[/b][/color][br]これから、 2x+y+xy'+2y・y'= 0 となるから、(2x+y)=-(x+2y)y'となり、y'=-(2x+y)/(x+2y)。[br][b][size=150][br]・パラメータ表示の微分[/size][/b][br][color=#0000ff][b]dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)[/b][/color]のようにパラメータで微分したものの商で求める。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「曲線x=cos[sup]5[/sup]θ,ｙ＝sin[sup]5[/sup]θの導関数」は？[br]　導関数はdy/dx=(dy/dθ)/(dy/dθ)=(5sin[sup]4[/sup]θ・cosθ)/(5cos[sup]4[/sup]θ・(-sinθ))=-tan[sup]3[/sup]θ。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「パラメータθで、(x,y)＝（1-cosθ, θ-cosθ)とするときのｘによる微分y', y"」は？[br][math]\frac{dy}{dx}＝\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{\left(\theta-sin\theta\right)'}{\left(1-cos\theta\right)'}=\frac{1-cos\theta}{sin\theta}[/math](=f/g)とおくと、[br][math]\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}=\frac{d\left(\frac{f}{g}\right)}{dx}=\frac{\frac{d\left(\frac{f}{g}\right)}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{\frac{\left(f'g-fg'\right)}{g^2}}{g}=\frac{\left(f'g-fg'\right)}{g^3}=\frac{\left(1-cos\theta\right)'\left(sin\theta\right)-\left(1-cos\theta\right)\left(sin\theta\right)'}{sin^3\theta}=\frac{sin^2\theta+cos^2\theta-cos\theta}{sin^3\theta}[/math][br]=[math]\frac{1-cos\theta}{sin^3\theta}[/math][br][br][b][size=150]・逆関数の微分[/size][/b][br][color=#0000ff][b]dy/dx=1/(dx/dy)[/b][/color]のように逆関数を戻して変数ｙで微分したものの逆数で求める。[br][color=#0000ff]y=x[sup]2[/sup]の逆関数ｘ=y[sup]2[/sup]をｘで微分すると、dx/dy=d(y[sup]2[/sup])dy=2y=2√ｘだから、dy/dx=[math]\frac{1}{2\sqrt{x}}[/math][br]（例）[/color][br]「ｘ＝siny 、x=cosyをｘで微分」すると？[br]dx/dy=d(siny)/dy=cosy=√(1-sin[sup]2[/sup]y)=√(1-x[sup]2[/sup]) 。だから、(sin[sup]-1[/sup]x)'=[math]\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/math][br]dx/dy=d(cosy)/dy=-siny=-√(1-cos[sup]2[/sup]y)=-√(1-x[sup]2[/sup])。だから、(cos[sup]-1[/sup]x)'=[math]-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/math] [br][b][size=150]＜対数微分法＞[br][/size][/b]logxをｘで微分すると、1/xだが、[color=#0000ff][b]logyをｘで微分すると微分連鎖で1/y・y'[/b][/color]となる。[br]だからｙ＝ｆ（ｘ）の対数をとってｘで微分すると、y'を求められる。両辺が正であれば対数が取れる。[br]log y=logf(x)。両辺微分して、[color=#0000ff][b]y'/y= f'(x)/f(x)[/b][/color]。だから、y'=y/f(x)・f'(x)となる。[br][size=100]y=log|sinx|をｘで微分すると[/size][size=100]y'=(sinx)'/sinx=cosx/sinx=1/tanx[br][size=100]y=1/2log|(x-1)/(x+1)|をｘで微分すると[/size][size=100]y'=1/2(log(x-1)-log(x+1))'=1/2(1/(x-1)-1/(x+1)=1/(x[sup]2[/sup]-1)[br][/size][/size][color=#0000ff]（例）[br][/color]「ｘ>0のとき、y=x[sup]x[/sup]をｘで微分」すると？[br]両辺の対数logy=x・logx。両辺をｘで微分すると、y'/y=(x )'logx+x(logx)'=logx+1。[br]y'について解くと、y'=y・(logx+1)[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「x>0のとき、y=x[sup]α[/sup]（αは実数)をｘで微分」すると？[br]両辺の対数logy=α・logx。両辺をｘで微分すると、y'/y=α/x。[br]y'について解くと、y'=y・α/x=x[sup]α[/sup]・α/x＝αx[sup]α-1[/sup]。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「y=[math]\sqrt{\frac{(1-x)(2x^2+5)}{(x-2)^3}}[/math]をｘで微分」すると？[br] べき関数、積、商、合成関数の微分法のすべてを使えば求められるが、対数微分法を使ってみよう。[br]両辺の対数はlogy=1/2{log|1-x|+log|2x[sup]2[/sup]+5|-3log|x-2|}となり、ｘで微分すると、[br]y'/y=1/2{-1/(1-x)+4x/(2x[sup]2[/sup]+5)-3/(x-2)}となるね。[br]これをy'について解くと、y'=y/2{-1/(1-x)+4x/(2x[sup]2[/sup]+5)-3/(x-2)}[br]=1/2・√((1-x )(2x[sup]2[/sup]+5)/(x-2)[sup]3[/sup]){-1/(1-x)+4x/(2x[sup]2[/sup]+5)-3/(x-2)}[br][size=150][b]＜高次導関数＞[/b][/size][br][color=#0000ff][b]導関数をくり返し求めたものを高次導関数とか、高階導関数[higher derivative][/b][/color]という。[br]f(x)をｎ回微分したｎ次導関数はｆ[sup](n)[/sup](x)とかいたりする。[br]たとえば、関数Aを１回微分して導関数Bが求められることを、A→Bと表すことにしよう。[br]すると、x[sup]n[/sup]→nx[sup]n-1[/sup]→n(n-1)x[sup]n-2[/sup]→n(n-1)(n-2)x[sup]n-3[/sup]→n(n-1)(n-3)x[sup]n-4[/sup][br]となるから、(x[sup]n[/sup])[sup](k)[/sup]=nPkx[sup]n-k[/sup][color=#0000ff][br](x[sup]n[/sup])[sup](n)[/sup]=nPnx[sup]n-n[/sup]=n![br]（例）[/color][br]「sin[sup](n)[/sup](x)=sin(x+nπ/2)」になる理由は？[br]sinx→ cosx=sin(x+π/2) →-sinx=sin(x+π)　→-cosx=sin(x+3π/2)　→sinx=sin(x+2π)[br]つまり、1回微分でsinの角がπ/2ずつ増えることになり、４回で戻っているから。[br]★２回微分で、逆符号になるというのも面白いね。[br][br]