Área da superfície de um cilindro reto
[justify]Vamos planificar a superfície de um cilindro reto de altura medindo h e raio da base r para determinar a área da sua superfície.[/justify]
[justify][/justify][justify]A superfície total de um cilindro reto é formada pela superfície lateral e pela superfície das duas bases circulares. Como podemos observar pela planificação, a área dessa superfície é a área do retângulo de dimensões [math]2\pi r[/math] e [math]h[/math]mais as áreas das bases, cada uma delas com área equivalente à área de um círculo de raio [math]r[/math]. Assim, temos:[br][/justify][br][b]área da base [/b][math](A_b)[/math][b]:[/b][br][br][math]A_b=\pi.r^2[/math][br] [br][b]área lateral [/b][math](Al)[/math][b]:[/b][br][br][math]Al=2.\pi.r.h[/math][br][br][b]área total[/b] [math]\left(At\right):[/math][br][br][math]At=2.A_b+Al[/math] [br][br][br] Então, conhecendo a fórmula da área da base e a fórmula da área lateral do cilindro, temos que:[br][br][br][math]At=2.\pi.r^2+2\pi.r.h[/math] [br][br]Como [math]2.\pi.r[/math]aparece nas duas parcelas, logo podemos colocar esse termo em evidência, gerando uma fórmula mais prática para a área do cilindro: [math]At=2.\pi.r\left(r+h\right)[/math]
Veja abaixo mais uma explicação com o Professor Ítalo Benfica.
A TIVIDADES RESOLVIDAS
1. Uma lata tem o formato cilíndrico reta, com as medidas indicadas na figura.
Nessas condições, responda:[br][br]a) Qual é a quantidade mínima de papel, em [math]cm^2[/math], necessária para cobrir a superfície lateral dessa lata?[br][br]b) Qual é a área total da superfície dessa lata? Use [math]\pi=3,14.[/math][br][br][br][b]Resolução: [/b]Planificando a superfície do cilindro, temos:
a) Área lateral [math](Al)[/math]:[br][br][math]Al=10.\pi.12=120\pi\Longrightarrow Al=120\pi cm^2[/math][br][br]Considerando [math]\pi=3,14[/math], temos:[br][br][math]Al=120.3,14=376,8[/math][br][br]A quantidade mínima de papel é [math]376,8cm^2[/math][br][br]b) Área total [math](At)[/math]:[br][br][br][math]At=Al+2.A_b[/math] =[math]376,8+2.\left(\pi5^2\right)[/math] = [math]376,8+50\pi=[/math] [math]376,8+50.3,14=533,8\Longrightarrow At=533,8cm^2[/math][br][br][br]Podemos também calcular diretamente pela fórmula[math]At=2.\pi.r(h+r)\Longrightarrow[/math] [br][br][br][math]At=2.\pi.5.(12+5)=10\pi.17\Longrightarrow At=170.(3,14)=533,8\Longrightarrow At=533,8cm^2[/math][br][br][br][br]Portanto, a área total da superfície da lata [br]é [math]533,8cm^2[/math]
2. Calcule a área total do sólido obtido pela rotação completa de um retângulo de dimensões 4 cm e 12 cm em torno do lado:[br][br]a) menor;[br][br]b) maior.[br][br]Resolução:[br][br]a) O sólido obtido nesse caso é um cilindro reto de raio da base 12 cm e altura 4 cm.
[math]At=2.\pi.r(h+r)\Longrightarrow At=2.\pi.12(4+12)\Longrightarrow At=384\pi[/math][br][br]Portanto, [math]At=384\pi cm^2.[/math]
b) O sólido obtido nesse caso é um cilindro reto de raio da base 4 cm e altura 12 cm. [br]Assim:
[math]At=2\pi.4(12+4)\Longrightarrow At=128\pi[/math][br][br]Portanto, [math]At=128\pi cm^2.[/math]
Exercício
[justify]1- Um cilindro reto tem altura igual a 5 cm e raio da base medindo 6 cm. Determine:[/justify]a) área da base;[br][br]b) área lateral;[br][br]c) área total.[br]
2. Determine a área lateral de um cilindro cujo perímetro da base é 62,8 cm e cuja altura é a metade do raio da base. Adote [math]\pi=3,14.[/math]
3. Da rotação completa de um retângulo de dimensões 5 cm e 9 cm obtém-se um cilindro reto cuja área da base é [math]25\pi cm^2[/math]. Calcule a área total desse cilindro.
4. A área lateral de um cilindro é [math]20\pi cm^2[/math]. Se o raio da base mede 5 cm, calcule a altura [math]h[/math] desse cilindro
[justify]5-Quantos centímetros quadrados de folha de flandres são necessários para construir uma lata de óleo, com tampa, no formato de um cilindro reto, tendo 8 cm de diâmetro de base e 18 cm de altura?[/justify][br]