[br][color=#980000][b]Iloczyn mieszany[/b][/color] [math](u,v,w)[/math] wektorów [math]u[/math], [math]v[/math] i [math]w[/math] w przestrzeni [math]\mathbb{R}^3[/math] definiujemy w następujący sposób:[center][math](u,v,w)=(u\times v)\circ w [/math].[/center]Jeżeli [math](u,v,w)=0[/math], to wektory [math]u[/math], [math]v[/math] i [math]w[/math] są [color=#980000][b][color=#000000]współpłaszczyznowe [/color][/b][/color](tzn. leżą w jednej płaszczyźnie). W przeciwnym wypadku[center] [math]\vert(u,v,w)\vert =|V|[/math], [/center]gdzie [math]V[/math] jest [b]równoległościanem rozpiętym na wektorach[/b] [math]u[/math], [math]v[/math], [math]w[/math].

Dla podanych wektorów [math]u=\left[2,1,0\right][/math], [math]v=\left[-1,3,1\right][/math] i [math]w=\left[-2,-1,3\right][/math] wyznaczymy iloczyny: [math](u,v,w)[/math], [math](v,w,u)[/math], [math](u,w,v)[/math] oraz [math](u,v,u+v)[/math]. Zastanowimy się jakie własności posiada iloczyn mieszany.[br][br][u]Rozwiązanie[/u]:

[u]Wnioski[/u]:[br]a) Iloczyn [math](u,v,w) \ne 0[/math], co oznacza, że dane wektory nie są współpłaszczyznowe.[br]b) Iloczyn [math](u,v,u+v) =0 [/math], czyli wektory [math]u[/math], [math]v[/math] i [math]u+v[/math]są współpłaszczyznowe. Wskaż trzy inne (różne i niezerowe) wektory współpłaszczyznowe.[br]c) Iloczyn [math](u,v,w) \ne (u,w,v)[/math].