Gegeben sind eine Funktion (in der App ist es [math]f(x)=x^2[/math]) und ein Intervall [math][a,b][/math].[br]Die Fläche unter der Funktion wird nun in [math]n[/math] Streifen unterteilt, die bis zum Funktionsgraphen gehen und die das Intervall von [math]a[/math] nach [math]b[/math] vollständig ausfüllen.[br][b]Die Fläche eines Balkens[/b] an der Stelle [math]x_i[/math] kann einfach ausgerechnet werden, mit [math]f(x_i)\cdot dx[/math]. [br]Dabei ist [math]dx[/math] die [b]Balkenbreite[/b]: [math]dx=\frac{b-a}{n}[/math]. [br]Die [b]Stelle[/b] [math]x_i[/math] ist gleich [math]a[/math] plus [math]i[/math] mal die Balkenbreite: [math]x_i=a+i\cdot dx[/math][br][br]Je größer nun die Anzahl der Balken gewählt wird, desto genauer ist die Fläche bestimmt.[br]Rechnerisch ist es sogar möglich, [b][i]unendlich viele[/i][/b] Balken zu berechnen. Und unter dieser Voraussetzung ist die so bestimmte Fläche sogar exakt. [br]Genau das werden wir unter der App mit einem CAS-System auch tun, wir berechnen so eine Fläche mit unendlich vielen Balken.

[br][list=1][*]Speichern Sie die Funktion [math]x^2[/math] als [math]\mathbf\mathit \fgcolor{#0000AA}{f(x)}[/math] ab. [br]Probieren Sie diesen Rechenweg später auch mit anderen Funktionstermen.[/*][*]Speichern Sie die Balkenbreite [math]\frac{b-a}{n}[/math] als [math]\mathbf\mathit \fgcolor{#0000AA}{dx}[/math] ab.[/*][*]Speichern Sie die Stelle [math]a+ii\cdot dx[/math] als [math]\mathbf\mathit \fgcolor{#0000AA}{xi}[/math] ab. [br]Hier muss als Index [math]ii[/math] gewählt werden, weil ein einfaches [math]i[/math] im Taschenrechner als die komplexe Zahl [math]i=\sqrt{-1}[/math] interpretiert wird.[/*][*]Nun ist alles vorbereitet. Geben Sie in den CAS ein: [br][math]\mathbf\mathit \fgcolor{#0000AA}{\lim_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{ii=1}^{n} f(x_i)\cdot dx\right)}[/math] und Sie erhalten als Fläche unter der Funktionsgraphen von [math]f(x)[/math] im Intervall von [math]0[/math] bis [math]b[/math] das Ergebnis [math]\frac{1}{3}\cdot b^3-\frac{1}{3}\cdot a^3[/math].[/*][/list][br]In den vorangehenden Kapiteln über Integralrechnung haben wir gelernt, dass die Stammfunktion von [math]f(x)=x^2[/math] die Funktion [math]F(x)=\frac{1}{3}x^3+c[/math] ist. Dann ist die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von [math]f(x)[/math] und der Abszisse offenbar [math]Fläche=F(b)-F(a)=(\frac{1}{3}b^3+c)-(\frac{1}{3}a^3+c)=\frac{1}{3}b^3-\frac{1}{3}a^3[/math]. Die Integrationskonstante [math]c[/math] fällt dabei heraus, weil sie einmal mit positivem und einmal mit negativem Vorzeichen erscheint. [br][br]Mit Integralen schreibt man das so:[br][math]\int\limits_a^b f(x)\, dx=F(b)-F(a)[/math][br]Oder als Zahlenbeispiel mit [math]a=1[/math] und [math]b=2[/math]: [br][math]\int\limits_1^2 f(x) \,dx=F(2)-F(1)=\frac 13 \cdot 2^3-\frac 13\cdot 1^3 = \frac 73[/math][br][br]Ein Integral, das Zahlen [math]a[/math] und [math]b[/math] als untere und obere [b][color=#980000]Integrationsgrenze[/color][/b] hat, nennt man ein [color=#980000][i][b]bestimmtes Integral[/b][/i][/color]. Integrale ohne Integrationsgrenzen nennt man [b][color=#1e84cc]unbestimmte Integrale[/color][/b]. Das Ergebnis eines bestimmten Integrals ist eine Zahl (eine Flächenbilanz, s.u.) und das Ergebnis eines unbestimmten Integrals ist eine Stammfunktion.

Die Fläche eines Balkens bei eine Riemann-Integral ist das Produkt [math]f(x_i)\cdot dx[/math]. Daher kann es natürlich auch vorkommen, dass die Funktionswerte [math]f(x)[/math] negativ sind. Dann erhält man als "Fläche" eine [color=#980000][b]negative[/b][/color] Zahl.[br][b][i]Flächen, die unter der Abszisse liegen, ergeben beim Integrieren eine negative Zahl[/i][/b]. Und wenn es in einem Intervall [math][a;b][/math] sowohl positive wie auch negative Funktionswerte gibt, dann erhält man mit dem Integral [math]\int\limits_a^b f(x) dx[/math] die [b][color=#980000]Flächenbilanz[/color][/b]. Es ist der Flächenanteil über der Abszisse [b][i]minus[/i][/b] dem Anteil der Fläche, der unter der Abszisse liegt. [br][b]Man berechnet daher mit einem Integral nicht Flächen zwischen Funktionsgraphen und der Abszisse, sondern[/b] [b][color=#980000]Flächenbilanzen[/color][/b].[br][br]In der unten stehenden App kann der Funktionsgraph nach oben und nach unten verschoben werden. Dabei ist zu sehen, wie sich die Flächenbilanz dabei verändert.