[b]Definition:[/b][br]Ein [math]T[/math]-periodischer Bewegungsvorgang ([math]T\in\mathbb{R}^+[/math]) der euklidischen Ebene [math]E[/math] ist eine Abbildung [math]c:\mathbb{R}\longrightarrow Isom\left(E\right)[/math] in die Gruppe [math]Isom\left(E\right)[/math] der Isometrien von [math]E[/math] mit [math]c\left(0\right)=id_E[/math] und [math]c\left(t+T\right)=c\left(t\right)[/math] für alle [math]t\in\mathbb{R}[/math].[br]Wie in der Differentialgeometrie üblich kann man [math]Isom\left(E\right)[/math] mit einer differenzierbaren Struktur versehen und verlangt dann üblicherweise, dass die Abbildung [math]c[/math] (mindestens einmal) stetig differenzierbar ist. (Als Folge davon sind alle Isometrien [math]c\left(t\right)[/math] orientierungstreu.)[br]Im Folgenden wird die euklidische Ebene vereinfachend mit [math]\mathbb{R}^2[/math] (versehen mit dem Standard-Skalarprodukt und der Standard-Orientierung) identifiziert. [br][br]Durch die Vorgabe zweier [math]T[/math]-periodischer, stetig differenzierbarer Abbildungen [math]p:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^2[/math] und [math]e:\mathbb{R}\longrightarrow S^1[/math] wird ein [math]T[/math]-periodischer Bewegungsvorgang der Ebene wie folgt definiert: [br]Für jedes [math]t\in\mathbb{R}[/math] bildet [math]\left(p\left(t\right),e\left(t\right),Je\left(t\right)\right)[/math] ein begleitendes Koordinatensystem (wobei [math]J[/math] die Drehung um [math]\frac{\pi}{2}[/math] gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet). [br]Die Isometrie [math]c(t)[/math] wird dann dadurch definiert, dass sie einen beliebigen Punkt [math]X[/math] mit der eindeutigen Darstellung [math]x_{\alpha,\beta}=p\left(0\right)+\alpha\cdot e\left(0\right)+\beta\cdot Je\left(0\right)[/math] mit [math]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/math] auf den Punkt [math]X(t)[/math] mit [math]x\left(t\right)=p\left(t\right)+\alpha\cdot e\left(t\right)+\beta\cdot Je\left(t\right)[/math] abbildet. [br]Insebesondere wird also die Gerade [math]g=\left\{p\left(0\right)+s\cdot e\left(0\right)|s\in\mathbb{R}\right\}[/math] punktweise auf die Gerade [math]g\left(t\right)=\left\{p\left(t\right)+s\cdot e\left(t\right)|s\in\mathbb{R}\right\}[/math] abgebildet.[br][br]Der [i]Orbit [/i]eines einzelnen Geradenpunktes [math]p\left(0\right)+s\cdot e\left(0\right)[/math] kann somit durch die [math]T[/math]-periodische, stetig differenzierbare Abbildung [math]x_s:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^2,\ t\mapsto p\left(t\right)+s\cdot e\left(t\right)[/math] beschrieben werden. Speziell ist [math]p[/math] der Orbit des Punktes [math]p(0)[/math]. [br][br]Aus der Differentialgeometrie übernehmen wir für den von einem solchen Orbit umrandeten [i]orientierten Flächeninhalt [/i]die Formel [math]F=\int_0^T\frac{1}{2}\det\left(x_s\left(t\right),x_s'\left(t\right)\right)dt[/math] (zur Herleitung vgl. das Applet "Berechnung des orientierten Flächeninhalts"). Damit lässt sich der folgende Satz formulieren und beweisen:[br][br][b]Satz: [/b][br]Der orientierte Flächeninhalt [math]f\left(s\right)[/math] der vom Orbit [math]x_s[/math] umrandeten Fläche hängt (höchstens) quadratisch vom Parameter [math]s[/math] ab. Der Leitkoeffizient der so definierten (höchstens) quadratischen Funktion [math]f[/math] ist ein ganzzahliges Vielfaches von [math]\pi[/math]. [br][br][b]Beweis:[/b] [br]Es gilt wegen der Bilinearität der Determinante:[br][math]f(s) = \int_0^T\frac{1}{2}\det\left(x_s\left(t\right),x_s'\left(t\right)\right)dt =\frac{1}{2}\int_0^T\det\left(p\left(t\right)+s\cdot e\left(t\right),p'\left(t\right)+s\cdot e'\left(t\right)\right)dt\\=\frac{1}{2}\int_0^T\left[\det\left(p\left(t\right),p'\left(t\right)\right)+s\cdot\left(\det\left(p\left(t\right),e'\left(t\right)\right)+\det\left(e\left(t\right),p'\left(t\right)\right)\right)+s^2\cdot \det\left(e\left(t\right),e'\left(t\right)\right)\right]dt\\=\frac{1}{2}\int_0^T\det\left(p\left(t\right),p'\left(t\right)\right)dt+s\cdot\frac{1}{2}\int_0^T\left(\det\left(p\left(t\right),e'\left(t\right)\right)+\det\left(e\left(t\right),p'\left(t\right)\right)\right)dt+s^2\cdot \frac{1}{2}\int_0^T\det\left(e\left(t\right),e'\left(t\right)\right)dt\\=:A s^2+B s+C[/math][br][br]Dabei ist [math]A=\frac{1}{2}\int_0^T\det\left(e\left(t\right),e'\left(t\right)\right)dt[/math] der vom Einheitsvektor [math]e(t)[/math] während einer Periode überstrichene orientierte Flächeninhalt, was wegen [math]e\left(T\right)=e\left(0\right)[/math] nur ein ganzzahliges Vielfaches der Einheitskreisfläche sein kann, also [math]A=n\cdot\pi[/math]. Die Zahl [math]n\in\mathbb{Z}[/math] wird als [i]Umlaufzahl des periodischen Bewegungsvorgangs [/i]bezeichnet.[br][br]Weiter ist [math]B=\frac{1}{2}\int^T_0\left(\det\left(p\left(t\right),e'\left(t\right)\right)+\det\left(e\left(t\right),p'\left(t\right)\right)\right)dt[/math] und schließlich [math]C=\frac{1}{2}\int_0^T\det\left(p\left(t\right),p'\left(t\right)\right)dt[/math], was (wenig überraschend) der vom Orbit [math]p[/math] des Punktes [math]p(0)[/math] umlaufene orientierte Flächeninhalt ist.[br][br][b]Satz von Holditch (modifiziert):[/b][br]Sei [math]l\in\mathbb{R}^+[/math] (die Länge der Sehne in der Originalversion) und seien [math]p[/math] und [math]q[/math] zwei [math]T[/math]-periodische, beliebig oft differenzierbare Wege in [math]\mathbb{R}^2[/math] (die Orbits der beiden Endpunkte der Sehne) mit [math]\left|q\left(t\right)-p\left(t\right)\right|=l[/math], also [math]e\left(t\right):=\frac{q\left(t\right)-p\left(t\right)}{l}\in S^1[/math] für alle [math]t\in\mathbb{R}[/math]. Der Orbit eines beliebigen Punktes der durch [math]p(t)[/math] und [math]q(t)[/math] verlaufenden Geraden kann durch [math]x_s\left(t\right)=p\left(t\right)+s\cdot e\left(t\right)[/math] beschrieben werden. Insbesondere ist [math]q\left(t\right)=x_l\left(t\right)=p\left(t\right)+l\cdot e\left(t\right)[/math]. Sei weiter [math]f\left(s\right)=As^2+Bs+C[/math] wie oben die Funktion, die dem Parameter [math]s[/math] den zugehörigen orientierten Flächeninhalt [math]f(s)[/math] zuordnet, und sei [math]f\left(l\right)=f\left(0\right)[/math]. (Hier geht entscheidend ein, dass die Endpunkte der Sehne dieselbe Randkurve durchlaufen, deren Gestalt aber keine Rolle spielt!) Dann gilt:[br][br][center][math]\bf \it f\left(0\right)-f\left(s\right)=n\cdot\pi\cdot s\cdot\left(l-s\right)[/math] [/center]wobei [math]n[/math] die Umlaufzahl des durch [math]p[/math] und [math]e[/math] definierten periodischen Bewegungsvorgangs ist.[br][br]Bei einer einfach geschlossenen Randkurve, die im positiven Sinn umlaufen wird, ist [math]n=1[/math], und die Differenz auf der linken Seite kann als Inhalt der Ringfläche zwischen der Randurve [math]p=x_0[/math] und dem Orbit [math]x_s[/math] interpretiert werden. Dies ergibt den Satz von Holditch in der ursprünglichen Form. [br][br][b]Beweis:[/b][br]1. Fall: [math]n=0[/math] (dies ist z.B. der Fall, wenn die Sehne entlang einer Lemniskate geführt wird). Dann ist [math]A=n\cdot\pi=0[/math] und die Funktion [math]f[/math] linear mit zwei gleichen Funktionswerten, also konstant. Somit [math]f(0)-f(s)=0[/math].[br]2. Fall: [math]n\ne0[/math]. Dann ist [math]f[/math] eine quadratische Funktion mit Scheitelpunkt bei [math]\frac{l}{2}[/math], also [math]f\left(s\right)=A\cdot\left(s-\frac{l}{2}\right)^2+f\left(\frac{l}{2}\right)[/math]. Mit [math]\Delta x:=\frac{l}{2}-s[/math] folgt [math]f\left(0\right)-f\left(s\right)=A\cdot\left(\left(\frac{l}{2}\right)^2-\Delta x^2\right)=A\cdot\left(\frac{l}{2}-\Delta x\right)\cdot\left(\frac{l}{2}+\Delta x\right)=n\cdot\pi\cdot s\cdot\left(l-s\right)[/math]. [br][br][b]Zusatzbemerkung:[/b][br]In der ursprünglichen Holditch-Situation (mit [math]n=1[/math]) entsteht im Falle [math]s<0[/math] oder [math]s>l[/math] eine "Ringfläche", die ganz oder überwiegend außerhalb der vorgegebenen Randkurve liegt und daher einen negativen orientierten Flächeninhalt hat. Dieser kann betraglich mit [math]s\in\left[l,\infty\right)[/math] bzw. [math]l-s\in\left[l,\infty\right)[/math] jeden Wert annehmen. Ist die Länge [math]l[/math] der Sehne ganzzahlig, so ist der Flächeninhalt der außen liegenden Ringfläche genau dann betraglich gleich [math]\pi[/math], wenn [math]s[/math] bzw. [math]l-s[/math] die reelle Zahl mit der periodischen Kettenbruchdarstellung [math]\left[\;\overline{l}\;\right][/math] ist. Speziell für [math]l=1[/math] ist dies der [i]goldene Schnitt[/i].[br][br][b]Exkurs: "Holditch-Durchlaufung" eines Winkels[/b][br]Seien [math]l\in\mathbb{R}^+[/math] (die Sehnenlänge) und [math]\alpha\in\left(0,\pi\right)[/math] vorgegeben. Die Halbgeraden [math]\mathbb{R}^{\ge0}\cdot\left(-1,0\right)[/math] ("P-Schenkel" = negative x-Achse) und [math]\mathbb{R}^{\ge0}\cdot\left(\cos\alpha,\sin\alpha\right)[/math] ("Q-Schenkel", in der oberen Halbebene) bilden einen Winkel mit dem Scheitelpunkt im Ursprung und mit dem Nebenwinkel [math]\alpha[/math]. Sei [math]a:=\frac{l}{\sin\alpha}[/math]. Die Abbildungen[math]p:\left[0,\alpha\right]\rightarrow\mathbb{R}^2[/math],[math]\varphi\mapsto a\cdot \sin\left(\alpha-\varphi\right).\left(-1,0\right)[/math] und [math]q:\left[0,\alpha\right]\rightarrow\mathbb{R}^2[/math],[math]\varphi\mapsto a\cdot \sin\varphi\cdot\left(\cos\alpha,\sin\alpha\right)[/math] sind geeignete Parametrisierungen für die Bewegungen der Endpunkte [math]P[/math] und [math]Q[/math] einer starren Sehne auf den entsprechenden Schenkeln mit der Anfangslage [math]p\left(0\right)=\left(-l,0\right)[/math], [math]q\left(0\right)=\left(0,0\right)[/math] und der Endlage [math]p\left(\alpha\right)=\left(0,0\right)[/math], [math]q\left(\alpha\right)=l\cdot\left(\cos\alpha,\sin\alpha\right)[/math], da [math]q\left(\varphi\right)-p\left(\varphi\right)=l\cdot\left(\cos\varphi,\sin\varphi\right)[/math] und damit [math]\left|q\left(\varphi\right)-p\left(\varphi\right)\right|=l[/math] für alle [math]\varphi\in\left[0,\alpha\right][/math].[br]Die Bahnkurve [math]x_s\left(\varphi\right)=p\left(\varphi\right)+\frac{s}{l}\left(q\left(\varphi\right)-p\left(\varphi\right)\right)[/math] eines beliebigen Punktes [math]X_s[/math] auf der Geraden durch [math]P[/math] und [math]Q[/math] kann vektoriell beschrieben werden durch [math]\vec x_s\left(\varphi\right)=\left(\sin\left(\alpha-\varphi\right)\right)\cdot\left( \begin{array}{r}[br]-1 \\ [br]0 \\ [br]\end{array}\right)+s\cdot\left( \begin{array}{r}[br]\cos\varphi \\ [br]\sin\varphi \\ [br]\end{array}\right) [br][/math][math]=M\cdot \vec e\left(\varphi\right)[/math], wobei [math]\vec e\left(\varphi\right)=\left( \begin{array}{r}[br]\cos\varphi \\ [br]\sin\varphi \\ [br]\end{array}\right) [/math] und [math]M=\left( \begin{array}{rr}[br]s-l & a\cdot \cos\alpha \\ [br]0 & s \\ [br]\end{array}\right)[/math] (= die Matrix der linearen Abbildung [math]L_2\circ L_1[/math] aus dem Applet zu diesem Thema) ist. Der Vektor [math]\vec x_s\left(\varphi\right)[/math] überstreicht bei der Durchlaufung des Parameterintervalls den orientierten Flächeninhalt [math]\frac{1}{2}\int_0^{\alpha}\det\left(x_s\left(\varphi\right),x'_s\left(\varphi\right)\right)d\varphi=\frac{1}{2}\int_0^{\alpha}\det\left(Me\left(\varphi\right),Me'\left(\varphi\right)\right)d\varphi[/math][math]=\frac{1}{2}\int_0^{\alpha}\det\left(M\right)\cdot \det\left(e\left(\varphi\right),e'\left(\varphi\right)\right)d\varphi=\frac{\alpha}{2}\cdot \det\left(M\right)=-\left(\frac{\alpha}{2\pi}\right)\cdot \pi\cdot r\cdot s[/math] mit [math]r:=l-s[/math].[br][br]Anmerkung: Die gleiche Winkeldurchlaufung findet beim schiefen Ellipsenzirkel im Applet "Orbit Variationen" statt. Dazu setzt man dort das Häkchen bei "Ellipsenzirkel", den Parameter [math]\Delta\varphi[/math] auf [math]\alpha+\frac{\pi}{2}[/math] und den Parameter [math]a[/math] auf [math]\frac{l}{\sin\alpha}[/math]. Der oben beschriebene Winkel wird dort im Zeitintervall von [math]t_1=\frac{3}{4}-\frac{\alpha}{2\pi}[/math] bis [math]t_2=\frac{3}{4}[/math] durchlaufen. Dabei ist dort [math]p\left(t\right)=\left(a\cdot \cos\left(2\pi t\right),0\right)[/math] und [math]q(t)=p(t)+l\cdot\left(\cos\left(2\pi t+\Delta\varphi\right),\sin\left(2\pi t+\Delta\varphi\right)\right)[/math]. Die Umparametrisierung [math]t\mapsto\varphi\left(t\right):=2\pi\left(t-1\right)+\Delta\varphi[/math] bildet das Intervall [math]\left[t_1,t_2\right][/math] bijektiv auf [math]\left[0,\alpha\right][/math] ab und es ergibt sich mit [math]\varphi=\varphi\left(t\right)[/math] nach ein paar trigonometrischen Umformungen exakt dieselbe Parametrisierung des Ellipsenbogens wie oben.[br][br][b]Satz (gewichtetes Mittel bei quadratischen Funktionen[/b]):[br]Sei [math]f\left(x\right)=Ax^2+Bx+C[/math]. Seien [math]a,b\in\mathbb{R}[/math] und [math]l:=b-a[/math]. Seien [math]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/math] mit [math]\alpha+\beta=1[/math], seien [math]\overline{x}:=\alpha\cdot a+\beta\cdot b[/math], [math]\overline{y}:=\alpha\cdot f\left(a\right)+\beta\cdot f\left(b\right)[/math], [math]r:=\alpha\cdot l=b-\overline{x}[/math], [math]s:=\beta\cdot l=\overline{x}-a[/math] und schließlich [math]\overline z:=\alpha\cdot As^2+\beta\cdot Ar^2[/math]. Dann gilt:[br](1) [math]\overline z=A\cdot s\cdot r[/math][br](2) [math]\alpha\cdot f\left(a\right)+\beta\cdot f\left(b\right)-f\left(\alpha\cdot a+\beta\cdot b\right)=A\cdot s\cdot r=\alpha\cdot\beta\cdot A\cdot l^2[/math] oder kurz [math]\overline{y}-f\left(\overline{x}\right)=\overline z[/math].[br][br][b]Beweis:[/b][br]Es gilt das Hebelgesetz [math]\alpha s=\alpha\beta l=\beta r[/math], also [math]\alpha s^2+\beta r^2=\beta rs+\alpha sr=\left(\alpha+\beta\right)sr=sr[/math]. Multiplikation mit [math]A[/math] ergibt (1).[br]Bekanntlich gilt für die lineare Funktion [math]g\left(x\right)=Bx+C[/math] die Verhältnistreue oder Mittelwerttreue [math]\alpha\cdot g\left(a\right)+\beta\cdot g\left(b\right)=g\left(\alpha\cdot a+\beta\cdot b\right)[/math]. Daher muss in der Differenz auf der linken Seite von (2) nur der rein quadratische Anteil [math]Ax^2[/math] von [math]f\left(x\right)[/math] berücksichtigt werden. Es gilt:[br][math]\overline{z}=A\cdot\left[\alpha\cdot\left(a-\overline{x}\right)^2+\beta\cdot\left(b-\overline{x}\right)^2\right]\\\quad=A\cdot\left[\left(\alpha a^2+\beta b^2\right)-2\left(\alpha a\overline{x}+\beta b\overline{x}\right)+\left(\alpha+\beta\right)\overline{x}^2\right]\\\quad=A\cdot\left[\left(\alpha a^2+\beta b^2\right)-\overline{x}^2\right]\\\quad=\overline{y}-f\left(\overline{x}\right)[/math][br](Anmerkung: Es handelt sich hierbei i.W. um einen Spezialfall der aus der Statistik bekannten Regel [i]"mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert (Varianz) = Mittelwert der Quadrate minus Quadrat des Mittelwerts"[/i], die für Mittelwert und Varianz von beliebig vielen Größen gilt und analog bewiesen wird.)[br]Zusammen mit (1) folgt hieraus auch die erste Gleichung von (2).[br][br][b]Verallgemeinerter Satz von Holditch ([/b]Woolhouse und andere, 1858[b]): [/b][br]Seien [math]P[/math], [math]Q[/math] und [math]X[/math] drei Punkte auf einem starren Stab ([math]P\ne Q[/math]), der einem ebenen periodischen Bewegungsvorgang mit der Umlaufzahl [math]n[/math] unterworfen wird, seien [math]F_P[/math], [math]F_Q[/math] und [math]F_X[/math] die orientierten Flächeninhalte der von ihren Orbits umlaufenen Flächen und sei [math]X=\alpha P+\beta Q[/math] mit [math]\alpha+\beta=1[/math]. Dann gilt: [math]\alpha\cdot F_P+\beta\cdot F_Q-F_X=n\cdot\pi\cdot\alpha\cdot\beta\cdot\left|PQ\right|^2[/math].[br][b][br]Beweis: [br][/b]Seien [math]t\mapsto p\left(t\right)[/math] bzw. [math]t\mapsto q\left(t\right)[/math] die Orbits von [math]P[/math] bzw. [math]Q[/math], sei [math]e\left(t\right):=\frac{1}{l}\left(q\left(t\right)-p\left(t\right)\right)[/math] mit [math]l:=\left|PQ\right|[/math], sei ferner [math]s:=\beta\cdot l[/math]. Dann ist [math]x_s:t\mapsto p\left(t\right)+s\cdot e\left(t\right)=\alpha\cdot p\left(t\right)+\beta\cdot q\left(t\right)[/math] der Orbit von [math]X[/math]. Sei [math]f[/math] die quadratische Funktion, die jedem Parameter [math]s[/math] den von [math]x_s[/math] umlaufenen orientierten Flächeninhalt zuordnet, also [math]A=n\cdot\pi[/math] und [math]F_P=f\left(0\right)[/math] , [math]F_Q=f\left(l\right)[/math], [math]F_X=f\left(s\right)[/math]. Die Anwendung des obigen Satzes mit [math]a=0[/math] und [math]b=l[/math] liefert die Behauptung,[br][br]Der ursprüngliche Satz von Holditch folgt aus dem Spezialfall [math]n=1[/math] und [math]F_Q=F_P[/math].

[b]Der Satz von Woolhouse[/b][br][i]W.S.B. Woolhouse, [url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015065988027&view=1up&seq=835]The Lady's And Gentleman's Diary (1859), 89[/url][/i][br][br]Sei [math]c:\mathbb{R}\longrightarrow Isom\left(E\right)[/math] ein [math]T[/math]-periodischer Bewegungsvorgang der euklidischen Ebene mit der Umlaufzahl [math]n[/math]. [br]Seien [math]P_1,..,P_m\in E[/math] und [math]\alpha_1,...,\alpha_m\in\mathbb{R}[/math] mit [math]\sum\alpha_i=1[/math]. (Falls alle [math]\alpha_i>0[/math] sind, können diese als relative Massen einer diskreten Massenverteilung in den Punkten [math]P_i[/math] interpretiert werden, jedoch sind hier auch negative [math]\alpha_i[/math] zulässig.) Sei [math]S:=\sum\alpha_iP_i[/math] (der [i]Schwerpunkt [/i]dieser Massenverteilung). Für einen beliebigen Punkt [math]P\in E[/math] sei [math]F_P[/math] der orientierte Flächeninhalt der vom Orbit von [math]P[/math] umlaufenen Fläche. Statt [math]F_{p_i}[/math] schreiben wir auch kurz [math]F_i[/math]. Dann gilt:[br][math]F_S=\sum\alpha_iF_i-n\cdot\pi\cdot\sum\alpha_i\left|SP_i\right|^2=\sum\alpha_i\left(F_i-n\cdot\pi\cdot\left|SP_i\right|^2\right)[/math].[br][br][b]Beweis [/b](vollständige Induktion über [math]m\ge2[/math]):[br][br]Für [math]m=2[/math] gilt nach dem verallgemeinerten Satz von Holditch (mit entsprechend angepassten Bezeichnungen) [math]\alpha_1F_1+\alpha_2F_2-F_S=n\cdot\pi\cdot\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\left|P_1P_2\right|^2[/math] (*)[br]Andererseits gilt in vektorieller Schreibweise [math]\overrightarrow{P_1S}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{P_1P_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{P_1P_2}=\alpha_2\cdot\overrightarrow{P_1P_2}[/math], und analog [math]\overrightarrow{SP_2}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{P_1P_2}[/math], und somit [math]\alpha_1\left|SP_1\right|^2+\alpha_2\left|SP_2\right|^2=\left(\alpha_1\alpha_2^2+\alpha_2\alpha_1^2\right)\left|P_1P_2\right|^2[/math], was aber wegen [math]\alpha_2+\alpha_1=1[/math] dasselbe ist wie [math]\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\left|P_1P_2\right|^2[/math]. Damit ist die Gleichung (*) zur Behauptung für [math]m=2[/math] äquivalent.[br][br]Sei nun [math]m\in\mathbb{N}[/math], [math]m\ge2[/math] und gelte die Behauptung für [math]m[/math] Punkte. Zu zeigen ist, dass sie dann auch für [math]m+1[/math] Punkte zutrifft. Seien daher [math]P_1,...,P_m,P_{m+1}\in E[/math] und [math]\alpha_1,...,\alpha_m,\alpha_{m+1}\in\mathbb{R}[/math] mit [math]\sum_{i=1}^{m+1}\alpha_i=1[/math]. Sei [math]S:=\sum_{i=1}^{m+1}\alpha_iP_i[/math] der Schwerpunkt dieser Massenverteilung. Da [math]m\ge2[/math] ist, muss mindestens eins der [math]\alpha_i[/math] ungleich 1 sein. O.B.d.A. gelte dies für [math]\alpha_{m+1}[/math]. Setze [math]\alpha:=\sum_{i=1}^m\alpha_i=1-\alpha_{m+1}\ne0[/math] und [math]\alpha_i':=\frac{\alpha_i}{\alpha}[/math] für [math]i=1,...m[/math]. Dann erfüllen [math]P_1,...,P_m[/math] und [math]\alpha'_1,...,\alpha'_m[/math] die Voraussetzungen des Satzes für [math]m[/math] Punkte, so dass mit [math]S':=\sum_{i=1}^m\alpha'_iP_i[/math] gilt: [math]F_{S'}=\sum_{i=1}^m\alpha'_iF_i-n\cdot\pi\cdot\sum_{i=1}^{^m}\alpha'_i\left|S'P_i\right|^2[/math]. Ferner erfüllen [math]S',P_{m+1}[/math] und [math]\alpha,\alpha_{m+1}[/math] die Voraussetzung des Satzes für [math]m=2[/math], und es ist [math]\alpha S'+\alpha_{m+1}P_{m+1}=\sum_{i=1}^{m+1}\alpha_iP_i=S[/math]. Daher gilt: [br][math]F_S=\alpha\cdot F_{S'}+\alpha_{m+1}\cdot F_{m+1}-n\cdot\pi\cdot\left(\alpha\left|SS'\right|^2+\alpha_{m+1}\left|SP_{m+1}\right|^2\right)\\ =\sum_{i=1}^{m+1}\alpha_iF_i-n\cdot\pi\cdot\left(\alpha\cdot\sum_{i=1}^m\alpha_i'\left|S'P_i\right|^2+\alpha\cdot\left|SS'\right|^2+\alpha_{m+1}\left|SP_{m+1}\right|^2\right)\\ =\sum_{i=1}^{m+1}\alpha_iF_i-n\cdot\pi\cdot\left(\alpha\cdot\sum_{i=1}^m\alpha_i'\left(\left|S'P_i\right|^2+\left|SS'\right|^2\right)+\alpha_{m+1}\left|SP_{m+1}\right|^2\right)[/math][br]Nun ist [math]\overrightarrow{SP_i}=\overrightarrow{SS'}+\overrightarrow{S'P_i}[/math] für [math]i=1,...,m[/math] und daher[br][math]\sum_{i=1}^m\alpha'_i\left|SP_i\right|^2=\sum_{i=1}^m\alpha'_i\left(\left|SS'\right|^2+\left|S'P_i\right|^2+2\left(\overrightarrow{SS'}\cdot\overrightarrow{S'P_i}\right)\right)\\ =\sum_{i=1}^m\alpha'_i\left(\left|SS'\right|^2+\left|S'P_i\right|^2\right)+2\left(\overrightarrow{SS'}\cdot\sum_{i=1}^m\alpha'_i\overrightarrow{S'P_i}\right)\\ =\sum_{i=1}^m\alpha'_i\left(\left|SS'\right|^2+\left|S'P_i\right|^2\right)+2\left(\overrightarrow{SS'}\cdot\overrightarrow{S'S'}\right)\\ =\sum_{i=1}^m\alpha'_i\left(\left|SS'\right|^2+\left|S'P_i\right|^2\right)[/math][br]Damit ergibt sich schließlich[br][math]F_S=\sum_{i=1}^{m+1}\alpha_iF_i-n\cdot\pi\cdot\left(\sum_{i=1}^m\alpha\alpha_i'\left|SP_i\right|^2+\alpha_{m+1}\left|SP_{m+1}\right|^2\right)\\ =\sum_{i=1}^{m+1}\alpha_iF_i-n\cdot\pi\cdot\sum_{i=1}^{m+1}\alpha_i\left|SP_i\right|^2=\sum_{i=1}^{m+1}\alpha_i\cdot\left(F_i-n\cdot\pi\cdot\left|SP_i\right|^2\right)[/math],[br]was zu zeigen war.[br][br][br][b]Weiterführende Literatur:[/b][br][i]Peter Dombrowski, [/i]Wege in euklidischen Ebenen - Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie, Springer 1999