Modellierung von exponentiellem Wachstum
Messreihe
Wie schnell entwickelt sich aus einer gewissen Bakterienkultur eine kritische Menge, die beispielsweise zu negativen Effekten beim Menschen führen kann. Wir werden heute ein mathematisches Modell entwerfen, dass diese Frage beantworten möchte. [br][br]Die Tabelle zeigt das Wachstum der Population einer tatsächlichen Bakterienkultur.
Mit welchem Funktionstypen würdest du versuchen den Wachstumsprozess zu beschreiben?
Haben wir einen geeigneten Funktionstypen ausgewählt, können wir beginnen die notwendigen Parameter zu bestimmen. [br][br]Betrachte eine Exponentialfunktion mit unbekanntem Startwert und Wachstumsfaktor (x entspricht der Zeit in Minuten): [br][br][math]f\left(x\right)=b\cdot a^x[/math]
Startwert
Entnimm der Datenreihe einen geeigneten Startwert
Wachstumsfaktor
Bestimme nun einen geeigneten Wachstumsfaktor.[br][i]Hinweis: Der Wachstumsfaktor wird nicht perfekt zu allen Zahlenwerten passen. Hier müssen wir abwägen. [/i]
Erzeuge deine Funktion in diesem Applet. Beurteile in der Textzeile darunter das Ergebnis.
Falls du nicht mit dem Ergebnis zufrieden bist, gehe zurück zur Wahl der Parameter und justiere nach.
Beschreibe, welchen Teil der Daten dein Modell gut beschreibt und welchen nicht. [br][br]Triff eine Annahme, warum dies so ist.
Aussagen über die Stärke des Wachstums --> Ableitung
Zur Modellierung wurde bis jetzt eine Funktion in der Form [math]f\left(x\right)=b\cdot a^x[/math] verwendet. Um Aussagen über das Änderungsverhalten zu machen, wird allerdings ihre Ableitung benötigt. Hierzu muss die e-Funktion verwendet werden. Mit ein wenig Algebra, kann hier geschickt umgeformt werden. [br][math]b\cdot a^x=b\cdot e^{kx}[/math][br]Gib ein geeignete [math]k[/math] in Abhängigkeit von [math]a[/math] an, sodass die Gleichung stimmt.
Tipp: [br]Nutze das Potenzgesetz [math]e^{kx}=\left(e^k\right)^x[/math]
Damit können wir nun die Ableitung bestimmen. [br][math]f\left(x\right)=b\cdot e^{\ln\left(a\right)\cdot x}[/math][br][math]f'\left(x\right)=...[/math]
Berechne für deine Modellfunktion [math]f'\left(3\right)[/math] und gib die Bedeutung des Werts im Sachkontext an.
Halbwerts- und Verdopplungszeit:
Um verschiedene Wachstums- bzw. Abklingvorgänge besser vergleichen zu können, wird meist die Verdopplungszeit [math]T_V[/math], bzw. Halbwertszeit [math]T_H[/math] angegeben. Das ist die Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt bzw. halbiert (Wer hätte es gedacht ...). Mit der Funktion lässt sich das folgendermaßen ausdrücken: [br][math]f\left(x+T_V\right)=2\cdot f\left(x\right)[/math] bzw. [math]f\left(x+T_H\right)=\frac{1}{2}\cdot f\left(x\right)[/math][br]Dann nutzen wir diesen Zusammenhang, um allgemein die Verdopplungszeit herzuleiten. Bringe dazu die Umformungen in die richtige Reihenfolge. [br]
Für die Halbwertszeit ergibt sich mehr oder weniger analog (mit etwas Umformungsmagie):[br][math]T_h=-\frac{ln\left(2\right)}{k}[/math]
Unterscheidung von Wachstums- und Abklingvorgängen:
Am Wachstumsfaktor lässt sich leicht ablesen, ob es sich um einen Wachstums, oder einen Abklingvorgang handelt. Wird eine e-Funktion verwendet, muss man hier etwas umdenken. [br][math]f\left(x\right)=b\cdot e^{kx}[/math][br]Für welche Werte von [math]k[/math] handelt es sich um einen Wachstumsprozess (steigender Graph) bzw. einen Abklingvorgang (fallender Graph).
Wir wissen bereits, dass für einen Wachstumsfaktor [math]a[/math] mit [math]a>1[/math] ein positives Wachstum vorliegt. Da [math]k=ln\left(a\right)[/math] und [math]ln\left(1\right)=0[/math] muss [math]k>0[/math] für ein positives Wachstum gelten. [br][br]Analog folgt [math]k<0[/math] für ein negatives Wachstum.