Üstel fonksiyonların, [color=#ff0000]anlık değişim oranı [/color](belirli bir giriş değerinde) o fonksiyonun çıktısıyla (belirli bir giriş değerinde değerlendirilir) doğrudan değişen tek fonksiyonlar olduğunu hatırlayın.[br][br][color=#0000ff]Örneğin:[br]Taşıma kapasitesi veya diğer engelleyici faktörlerin olmadığını varsayarsak, belirli bir türün popülasyonunun herhangi bir t anındaki anlık büyüme hızı, yalnızca o t anındaki gerçek popülasyona bağlıdır. (Şunu düşünün: Sadece 10 bakterinin olduğu bir zamanda bir bakteri kolonisinin anlık büyüme hızı, 10.000 bakterinin olduğu zamandaki anlık büyüme hızından çok daha düşük olacaktır.)[br][/color][br]Bundan dolayı, [b]herhangi bir üstel fonksiyon için (şu şekilde yazılabilir)[/b][b] [math]f\left(x\right)=a^x[/math][/b][b], burada a >0),[/b] [color=#cc0000][b]türevi her zaman kendisinin skaler katı olacaktır. [/b][/color] Bunun informal bir örneği için aşağıdaki applet'e bakın.[br][br]Applet ile birkaç dakika inceleyin, ardından gelen soruları yanıtlayın..
Tüm x için f'(x) = f(x) olan belirli bir a taban değeri var mıdır? Eğer varsa, bu belirli taban değerinin ne olduğunu düşünüyorsunuz?[br]
Bir skaler olan [br]k sabiti için, eğer [math]f\left(x\right)=a^x[/math] ise o zaman [math]f'\left(x\right)=k\cdot f\left(x\right)[/math] olduğunu türevin formel limit tanımını kullanarak gösterin.
İşte BÜYÜK BİR İPUCU -- Birkaç hafta içinde bu gerçeği resmen kanıtlayacaksınız:[br][br]limit (h -->0) iken [math]\frac{a^h-1}{h}[/math] eşittir. [math]ln\left(a\right)[/math].
Önceki soru için bu sabit (skaler) k'nın tam değeri nedir?[br]
[math]k=ln\left(a\right)[/math]
Önceki iki sorudan elde ettiğiniz sonuçları, f'nin etki alanındaki tüm x değerleri için, k = (1) numaralı soruya verdiğiniz değer olduğunda, f'(x) = f(x) olduğunu resmen kanıtlamak için kullanın.