-
Derivadas. 2ºBACH
-
1. Concepto de derivada
- Derivada
- Función derivada
-
2. Práctica
- 20 derivadas para comprobar lo que sabes
-
3. Derivabilidad
-
4. Teoremas
- Teorema de Rolle, de Lagrange y de Cauchy
-
5. Aplicaciones
- Signo de la derivada y crecimiento
- Problema de optimización
- Problema de optimización 2
This activity is also part of one or more other Books. Modifications will be visible in all these Books. Do you want to modify the original activity or create your own copy for this Book instead?
This activity was created by '{$1}'. Do you want to modify the original activity or create your own copy instead?
This activity was created by '{$1}' and you lack the permission to edit it. Do you want to create your own copy instead and add it to the book?
Derivadas. 2ºBACH
Sergio Arroyo, Mar 1, 2021
Derivadas
Table of Contents
- Concepto de derivada
- Derivada
- Función derivada
- Práctica
- 20 derivadas para comprobar lo que sabes
- Derivabilidad
- Teoremas
- Teorema de Rolle, de Lagrange y de Cauchy
- Aplicaciones
- Signo de la derivada y crecimiento
- Problema de optimización
- Problema de optimización 2
Derivada
Interpretación geométrica
Hasta ahora, hemos trabajado con la pendiente de la recta tangente de la función para conocer cómo se comporta la gráfica.
Lo que nos indica sí la función es creciente o decreciente en un punto determinado.
El valor de la pendiente viene dado por la derivada. El proceso de calcular la derivada de una función se llama derivación.
La derivada de f en x está dada por
Ejemplo 1
Notación para la derivada
Existen varias formas de escribir la derivada de f(x):
, se lee "f prima de x"
, se lee "derivada de y con respecto a x"
, se lee "y prima de x"
o , se lee "derivada de f(x) con respecto a x"
Todas, se refieren a la misma expresión: la derivada.
20 derivadas para comprobar lo que sabes
Teorema de Rolle, de Lagrange y de Cauchy
Teorema de Rolle
Si f es una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b).
Sí f(a) = f(b), entonces f’(c) = 0 para al menos un c entre (a,b)
Ejercicios
Comprobar el Teorema de Rolle para las siguientes funciones, en los intervalos dados:
- f(x) = x2 - 4x + 5 en [ 1, 3]
- f(x) = x2 - 3x + 2 en [ 1, 2]
- f(x) = x4 - 2x2 en [-2, 2]
Teorema de Lagrange o del valor medio
Si f es una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b).
Sí f(a) f(b). Entonces, existe un número c en (a,b) tal que:
Ejercicios
Comprobar el Teorema de Lagrange o del valor medio para las siguientes funciones, en los intervalos dados:
- f(x) = 5 - (4 / x) en [ 1, 4]
- f(x) = (x + 1) / x en [ -1, 2]
- f(x) = (2- x)(1/2) en [ -7 , 2]
Teorema de Cauchy
Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a,b] y son derivables en el intervalo abierto (a,b).
Y, sí: g(a) g(b) y g'(x) 0 para , Entonces, existe un tal que:
Ejercicios
Comprobar el Teorema de Cauchy para las funciones dadas, en los intervalos dados:
- f(x) = x2 − 2x + 3 y g(x) = x3 − 7x2 + 20x − 5 en [1, 4]
- f(x) = sen x y g(x) = cos x en [0, π/2]
- f(x) = 3x4 − 2x3 − x2 + 1 y g(x)=4x3 − 3x2 − 2x en [0, 1]
- f(x) = x3 + 1 y g(x) = x2 + 3 en [0, 2]
Signo de la derivada y crecimiento
Saving…
All changes saved
Error
A timeout occurred. Trying to re-save …
Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.