Derivadas. 2ºBACH
Derivadas
Table of Contents
- Concepto de derivada
- Derivada
- Función derivada
- Práctica
- 20 derivadas para comprobar lo que sabes
- Derivabilidad
- Teoremas
- Teorema de Rolle, de Lagrange y de Cauchy
- Aplicaciones
- Signo de la derivada y crecimiento
- Problema de optimización
- Problema de optimización 2
Derivada
Interpretación geométrica
Hasta ahora, hemos trabajado con la [b]pendiente[/b] de la recta tangente de la función para conocer cómo [b]se comporta la gráfica[/b]. [br][br]Lo que nos indica sí la función es creciente o decreciente en un punto determinado.
El valor de la [b]pendiente[/b] viene dado por la [b]derivada[/b]. El proceso de calcular la derivada de una función se llama [b]derivación[/b]. [br][br]La derivada de f en x está dada por[br][br][center][img]https://mathpadilla.files.wordpress.com/2011/10/definicion-derivada-usando-limite.jpg[/img][/center]siempre que exista el límite. Para todos los x para los que exista el límite, f' es una función en x.
Ejemplo 1
Notación para la derivada
Existen varias formas de escribir la derivada de f(x):[br][br][math]f'\left(x\right)[/math], se lee [i]"f prima de x"[br][math]\frac{dy}{dx}[/math][/i], se lee [i]"derivada de y con respecto a x"[br][math]y'[/math][/i], se lee [i]"y prima de x"[br][math]\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right][/math][/i] o [math]D_x\left[f\left(x\right)\right][/math], se lee [i]"derivada de f(x) con respecto a x"[/i][br][br]Todas, se refieren a la misma expresión: [b]la derivada[/b].
20 derivadas para comprobar lo que sabes
Teorema de Rolle, de Lagrange y de Cauchy
Teorema de Rolle
Si f es una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b).[br][br][center]Sí f(a) = f(b), entonces [b]f’(c) = 0[/b] para al menos un [b]c[/b] entre (a,b)[/center]
Ejercicios
Comprobar el [b]Teorema de Rolle[/b] para las siguientes funciones, en los intervalos dados:[br][br][list][*]f(x) = x[sup]2[/sup] - 4x + 5 en [ 1, 3][/*][*]f(x) = x[sup]2 [/sup]- 3x + 2 en [ 1, 2][/*][*]f(x) = x[sup]4 [/sup]- 2x[sup]2[/sup] en [-2, 2][/*][/list]
Teorema de Lagrange o del valor medio
Si f es una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b).[br][br]Sí f(a) [math]\ne[/math] f(b). Entonces, existe un número [b]c[/b] en (a,b) tal que:[br][center][math]f'\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math][/center]
Ejercicios
Comprobar el[b] Teorema de Lagrange o del valor medio[/b] para las siguientes funciones, en los intervalos dados:[br][br][list][*]f(x) = 5 - (4 / x) en [ 1, 4][/*][*]f(x) = (x + 1) / x en [ -1, 2][/*][*]f(x) = (2- x)[sup](1/2)[/sup] en [ -7 , 2][/*][/list]
Teorema de Cauchy
Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a,b] y son derivables en el intervalo abierto (a,b).[br][br][left]Y, sí: [br][b]g(a) [/b][math]\ne[/math][b] g(b)[/b] y [br][b]g'(x) [/b][math]\ne[/math][b] 0 [/b]para [math]x\in\left(a,b\right)[/math], [br][br]Entonces, existe un [math]c\in\left(a,b\right)[/math] tal que:[/left][br][center][math]\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}=\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}[/math][/center]
Ejercicios
Comprobar el [b]Teorema de Cauchy [/b]para las funciones dadas, en los intervalos dados:[br][br][list][*]f(x) = x[sup]2[/sup] − 2x + 3 y g(x) = x[sup]3[/sup] − 7x[sup]2[/sup] + 20x − 5 en [1, 4][br][/*][*]f(x) = sen x y g(x) = cos x en [0, π/2][/*][*]f(x) = 3x[sup]4[/sup] − 2x[sup]3[/sup] − x[sup]2[/sup] + 1 y g(x)=4x[sup]3[/sup] − 3x[sup]2[/sup] − 2x en [0, 1][/*][*]f(x) = x[sup]3[/sup] + 1 y g(x) = x[sup]2[/sup] + 3 en [0, 2][br][br][/*][/list]