Lernpfad Lineare Funktionen (lang)
In diesem Lernpfad wirst du lineare Funktionen kennenlernen. Dabei wirst du dir erarbeiten: [list] [*] was eine proportionale Funktion ist. [*] wie man die Steigung einer Geraden bestimmt. [*] wie man eine Ursprungsgerade zu einer gegebenen Steigung zeichnet. [*] was eine lineare Funktion ist. [*] welchen Einfluss die Parameter einer linearen Funktion haben. [*] wie man die Parameter einer linearen Funktion mit Hilfe des Graphens bestimmen kann. [*] wie man den Graphen einer linearen Funktion mit Hilfe der Parameter zeichnet. [*] wie man die Funktionsgleichung einer linearen Funktion mit Hilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen kann. [*] wie man die Funktionsgleichung einer linearen Funktion mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen kann. [*] wie man den Schnittpunkt einer linearen Funktion mit der Koordinatenachsen bestimmt. [*] wie man den Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen bestimmt. [/list] Die Aufgaben des Lernpfades bearbeitest du immer in deinem Heft, es sei denn es handelt sich um ein Applet, welches online bearbeitet wird. Während des Lernpfades wirst du immer wieder auf Merksätze stoßen, die du dann in dein Heft notieren sollst. Die Aufgaben werden während des Lernpfads entweder direkt online oder durch deine Lerhrkraft oder eine:n Mitschüler:in kontrolliert. Im folgenden Kapitel findest du eine Übersichtstabelle, in der du deinen Fortschritt festhalten kannst. Dort siehst du ebenfalls,ob eine entsprechende Aufgabe von dir selbst online, durch einen Partner oder durch deine Lehrkraft kontrolliert wird. Ich wünsche dir viel Spaß und Erfolg!
Table of Contents
- Übersichtstabelle
- Laufzettel zum Lernpfad Lineare Funktionen
- Ein Stausee
- Proportionale Funktionen
- Vergleich proportionaler Funktionen
- Die Steigung
- Steigung
- Bestimmung der Steigung einer Geraden
- Übung: Steigung einer Geraden bestimmen
- Ursprungsgeraden zeichnen
- Übung: Konstruktion einer Ursprungsgerade
- Gefüllte Stauseen
- Lineare Funktionen
- Vergleich lineare Funktionen
- Der y-Achsenabschnitt
- y-Achsenabschnitt
- Übung: Funktionsvorschrift einer linearen Funktion bestimmen
- Lineare Funktionen zeichnen
- Übung: Lineare Funktionen zeichnen
- Verschiedene Stauseen
- Funktionsgleichung aufstellen: mit Hilfe von Steigung und Punkt
- Funktionsgleichung aufstellen: Mit Hilfe von zwei Punkten
- Übung: Funktionsgleichung aufstellen
- Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
- Schnittpunkte zweier linearer Funktionen
- Übung: Schnittpunkte bestimmen
- Abschlussquiz
- Abschlussquiz
Laufzettel zum Lernpfad Lineare Funktionen
Laufzettel zum Lernpfad Lineare Funktionen
Proportionale Funktionen
Ein Stausee ist ein künstlicher angelegter See, der in einem Tal durch Aufstauen von Wasser eines Flusses durch eine Talsperre (eine Art Staudamm) entsteht. Das Wasser wird hier solange gespeichert bis es beispielsweise als Trinkwasser, zur Energieerzeugung oder für die Landwirtschaft benötigt wird.
Wegen einer großen Wasserknappheit in der Region, musste der Stausee komplett leergelassen werden, da das Wasser dringend benötigt wurde. Nun ist die Talsperre wieder geschlossen und das Wasser aus dem Fluss bleibt wieder im Stausee. Der Fluss tägt zwar auch weniger Wasser, aber bereits nach 5 Sekunden sind 4000 [math]m^3[/math] Wasser im Stausee.
[b]Aufgabe 1[/b]: Erstelle eine Wertetabelle für die Wassermenge im See nach 0, 1, 2, 5, 8, 10 und 15 Sekunden.[br][size=50](Um die Antwort zu überprüfen, gibt eine beliebige Zahl in das Feld ein und drücke auf Antwort anzeigen)[/size]
[b]Aufgabe 2: [/b]Für die Menschen in der Gegend ist es sehr wichtig, dass sie zu jedem Zeitpunkt die Wassermenge im See kennen.[br][b]Stelle [/b]eine Funktionsgleichung für die Wassermenge (in [math]m^3[/math]) in Abhängigkeit der vergangenen Zeit (in s) [b]auf. [/b]
[b]Aufgabe 3: Berechne [/b]mit Hilfe der Funktion die Wassermenge im Stausee nach 0.5, 2.5, 10.4 und 11.26 Sekunden.[br][size=50](Klicke auf den Link hier drunter, um die Antworten einzugeben.)[/size][br]
[b]Aufgabe 4:[/b] [b]Übertrage [/b]die ersten fünf Punkte aus Aufgabe 1 in ein Koordinatensystem und [b]skizziere [/b]anschließend die Funktion. Wähle hierbei bei der y-Achse für 500 [math]m^3[/math] einen cm.[br][size=50](Um die Antwort zu überprüfen, gibt eine beliebige Zahl in das Feld ein und drücke auf Antwort anzeigen)[/size]
[b]Aufgabe 5: Bestimme [/b]mit Hilfe des Graphens wann ungefähr 5000 [math]m^3[/math] Wasser im Stausee enthalten sind.
Die Funktion, die du in diesen Aufgaben betrachtest hast, ist eine [b]proportionale Funktion[/b]. Proportionale Funktionen sind ein Spezialfall von den linearen Funktionen, welche du noch kennenlernen wirst. [br]Im nächsten Unterkapitel wirst du nun zunächst aber untersuchen, wie sich verschiedenene proportionale Funktionen voneinander unterscheiden.
Steigung
Du hast bereits erarbeitet wie sich die Graphen von zwei verschiedenen proportionalen Funktionen unterscheiden. Du sollst im folgendenen herausfinden, wie sich der Parameter [math]m[/math] der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=m\cdot x[/math] auf den Graphen einer proportionalen Funktion auswirkt.
[b]Aufgabe 1:[/b] [b]Probiere [/b]verschiedene Werte für den Parameter [math]m[/math] aus und [b]beschreibe [/b]wie sich dieser auf den Graphen auswirkt.
[b]Aufgabe 2: Beantworte [/b]zur Kontrolle, ob du den Einfluss des Parameters m richtig verstanden hast, die folgenden Fragen:
Wenn der Parameter m negativ ist, dann
Je größer der Betrag vom Parameter m ist,
Wenn die Gerade auf der x-Achse verläuft,
[b]Merksatz:[/b][br]Der Parameter [math]m[/math] der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=m\cdot x[/math] einer proportionalen Funktion gibt die Steigung der Geraden an.
[b]Aufgabe 3: Ordne [/b]jeweils zu, ob die angegebene Funktion einen fallenden oder steigenden Graphen besitzt.
[b]Aufgabe 4:[/b] [b]Denke [/b]dir Beispielsituationen für den Stausee [b]aus[/b], die mit einer proportionalen Funktion mit der Funktionsvorschrift [math]f\left(x\right)=m\cdot x[/math] beschrieben werden können, für den Fall, dass:[br][list][*][math]m>0[/math][br][/*][*][math]m=0[/math][br][/*][*][math]m<0[/math][br][/*][/list]
Lineare Funktionen
Als Paul den Stausee C anfängt zu beobachten sind bereits 1200 [math]m^3[/math] Wasser in ihm enthalten. Es fließt wieder konstant aus einem Zufluss Wasser in den Stausee. Paul hat die folgende Wertetabelle aufgestellt:
[b]Aufgabe 1:[/b] [b]Vervollständige [/b]die Tabelle und [b]ergänze [/b]die Rechenoperationen an den Pfeilen.[br][size=50](Um die Antwort zu überprüfen, gibt eine beliebige Zahl in das Feld ein und drücke auf Antwort anzeigen)[/size]
[b]Aufgabe 2: Paul [/b]möchte zu jedem Zeitpunkt wissen, wieviel Wasser in dem Stausee ist.[br][b]Stelle [/b]eine Funktionsgleichung für die Wassermenge (in [math]m^3[/math]) in Abhängigkeit der vergangenen Zeit (in s) [b]auf[/b].
[b]Aufgabe 3: Berechne [/b]mit Hilfe der Funktion die Wassermenge im Stausee nach 1.5, 2.5, 9.4 und 10.38 Sekunden.[br][size=50](Klicke auf den Link hier drunter, um die Antworten einzugeben.)[/size]
[b]Aufgabe 4:[/b] [b]Übertrage [/b]die ersten fünf Punkte aus Aufgabe 1 in ein Koordinatensystem und [b]skizziere [/b]anschließend die Funktion. Wähle hierbei bei der y-Achse für 500 [math]m^3[/math] einen cm und zeichne alle vier Quadranten des Koordinatensystems.[br][size=50](Um die Antwort zu überprüfen, gibt eine beliebige Zahl in das Feld ein und drücke auf Antwort anzeigen[/size]
[b]Aufgabe 5a) Bestimme [/b]mit Hilfe des Graphens ungefähr, wann 3000 [math]m^3[/math] Wasser im See vorhanden sind.
[b]Aufgabe 5b) Bestimme [/b]mit Hilfe des Graphens ungefähr wieviel Wasser ungefähr im Stausee 1 Sekunde bevor Paul angefangen hat ihn zu betrachten ist.
Die Funktion, die du in diesen Aufgaben betrachtest hast, ist eine [b]lineare Funktion.[br][/b]Im nächsten Unterkapitel wirst du nun zunächst aber untersuchen, wie sich verschiedenene lineare Funktionen voneinander unterscheiden.
y-Achsenabschnitt
Du hast bereits erarbeitet wie sich die Graphen von zwei verschiedenen linearen Funktionen unterscheiden. Du sollst im folgendenen herausfinden, wie sich die Parameter [math]m[/math] und [math]b[/math], der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=m\cdot x+b[/math] auf den Graphen einer proportionalen Funktion auswirkt.
[b]Aufgabe 1: Erkunde [/b]den Einfluss der Parameter [math]m[/math] und [math]b[/math] der linearen Funktion auf den Graphen in Form einer allgemeinen Geraden. [b]Notiere [/b]deine Beobachtungen.
[b]Aufgabe 2: Beantworte [/b]die folgenden Fragen, um zu kontrollieren, ob du den Einfluss der Parameter [math]m[/math] und [math]b[/math] richtig verstanden hast.
Was gibt der Parameter [math]m[/math] an?
Wenn die Gerade die y-Achse im positiven Bereich schneidet, dann ist...
Wenn die Gerade durch den Ursprung verläuft, dann ist...
Wenn die Gerade die y-Achse im negativen Bereich schneidet, dann ist...
[b]Aufgabe 3: Vervollständige [/b]folgenden Lückentext und [b]übertrage [/b]den Merksatz in einem Merksatz in dein Heft. [b]Übernehme [/b]anschließend ebenfalls das Beispiel in dein Heft.
[size=50](Quelle: https://unterrichten.zum.de/wiki/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/Funktionsgleichung_und_Funktionsgraph)[/size]
[b]Aufgabe 4: Entscheide[/b], ob es sich um eine lineare, proportionale oder allgemeine Funktion handelt.
[b]Aufgabe 5: Gib [/b]die Funktionsgleichung der linearen Funktion beziehungsweise die Steigung und den y-Achsenabschnitt [b]an.[/b]
[b]Aufgabe 6:[/b] [b]Denke [/b]dir Beispielsituationen für den Stausee [b]aus[/b], die mit einer linearen Funktion mit der Funktionsvorschrift [math]f\left(x\right)=m\cdot x+b[/math] beschrieben werden können, für den Fall, dass:[br][list][*][math]m>0,b>0[/math][br][/*][*][math]m<0,b>0[/math][br][/*][*][math]m=0,b=0[/math][br][/*][/list]
Wenn du dir noch unsicher bist, wie du die Parameter einer linearen Funktion an Hand des Graphens bestimmst, schaue dir dieses Video an.
Funktionsgleichung aufstellen: mit Hilfe von Steigung und Punkt
In einen Stausee fließen 500 [math]m^3[/math] pro Sekunde. Nach 3 Sekunden befinden 1700 [math]m^3[/math] Wasser im Stausee. Die Bevölkerung möchte wieder wissen zu welchem Zeitpunkt sich wieviel Wasser im Stausee befindet.[br][br][b]Aufgabe 1: Stelle [/b]eine Funktionsgleichung für[i] Funktion Zeit (in s) [/i][math]\rightarrow[/math] [i]Wassermenge im Stausee (in [/i][math]m^3[/math][i]) [/i][b]auf[/b][i]. [/i][b]Notiere [/b]deinen Rechenweg.
[b]Tipp:[/b][br][size=85][size=50](Für einen Tipp, gebe eine beliebige Zahl ein.)[/size][/size]
[b]Aufgabe 2: [/b]Gegeben ist eine Gerade, die durch Punkt (2|0) verläuft und eine Steigung von m=1,5 hat.[br][b]Bring [/b]in folgendem Applet die Herleitungsschritte von der Funktionsgleichung [b]in [/b]die richtige [b]Reihenfolge[/b].
[b]Merksatz:[/b] [br]Wenn du die Steigung m einer Geraden und einen Punkt auf der Geraden gegeben hast, dann bestimmt man die Funktionsgleichung folgendermaßen:[br][list][*]Man stellt die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion auf [math]f\left(x\right)=m\cdot x+b[/math].[/*][*]Man setzt den Wert für die Steigung in die Funktionsgleichung ein.[/*][*]Man setzt die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein.[/*][*]Man stellt die Funktionsgleichung nach dem Parameter b um[/*][/list][br][br][b]Beispiel[/b]: [br][br]m=-2 und Punkt A=(3|-2).[br][br][math]f\left(x\right)=m\cdot x+b[/math] | m=-2 einsetzen[br][math]f\left(x\right)=-2\cdot x+b[/math] | Punkt A=(3|-2) einsetzen ([math]f\left(3\right)=-2[/math])[br][math]-2=-2\cdot3+b[/math] | zusammenfassen[br][math]-2=-6+b[/math] | +6[br][math]-2+6=-6+b+6[/math] | zusammenfassen[br][math]4=b[/math][br][br]Also folgt: [math]f\left(x\right)=-2\cdot x+4[/math]
Abschlussquiz
Nun hast du den Lernpfad fast geschafft. Ein letztes Mal zu den Stauseen und nun damit zum Abschlussquiz!
[b]Aufgabe 1a): [/b]In Stausee 1 fließen 270[math]m^3[/math] Wasser pro Sekunde und nach 4 Sekunden sind 1500[math]m^3[/math] Wasser im See (f). Im Stausee 2 sind nach 3 Sekunden 1490[math]m^3[/math] Wasser und nach 5 Sekunden 1150 [math]m^3[/math] Wasser im See (g).[br][b]Bestimme [/b]die beiden Funktionsgleichungen, welche jeweils der Zeit die Menge Wasser im See zuordnet.
[b]Aufgabe 1b):[/b] [b]Bestimme [/b]die Wassermenge beider Seen zum Anfang der Beobachtung und den Zeitpunkt, wann kein Wasser im See ist. Runde auf 2 Nachkommastellen.
[b]Aufgabe 1c)[/b] [b]Bestimme [/b]den Zeitpunkt und die Wassermenge, an dem beide Stauseen gleich viel Wasser führen. Runde dabei auf zwei Nachkommastellen.
[b]Aufgabe 1d)[/b] [b]Zeichne [/b]die beiden Funktionen in ein Koordinatensystem. Wähle dabei auf der y-Achse die Skalierung 1cm entspricht 500[math]m^3[/math].[br][size=50](Gib eine beliebige Zahl ein, um die Lösung anzuzeigen)[/size]
[b]Aufgabe 1e) [/b]Unten ist die Wassermenge eines dritten Stausees in Abhängigkeit der Zeit abgebildet. [b]Bestimme [/b]die Funktionsgleichung:
Herzlichen Glückwunsch! Du hast den Lernpfad erfolgreich abgeschlossen! Das hast du gut gemacht!