Valjak
Motivacija i osnovni dijelovi valjka
Promotrimo slike na kojima se nalaze konzerva graha, rola ubrusa za ruke i hokejaški pak. Što im je zajedničko? Koji se oblici pojavljuju kod sva tri proizvoda?
Možemo zaključiti da svaki proizvod na prethodnim slikama omeđuju dva sukladna kruga i jedna zakrivljenja ploha.
Definicija.
[b][size=150]Valjak je geometrijsko tijelo omeđeno dvama sukladnim krugovima koji leže u paralelnim ravninama i koje nazivamo bazama valjka, te zakrivljenom plohom koju nazivamo plaštem valjka.[/size][/b]
Ako na prethodnom prikazu označimo središta baza sa S i S', te povučemo pravac kroz njih dobit ćemo pravac koji nazivamo os valjka.[br]
Definicija.
[size=150][b]Os valjka je pravac koji prolazi središtima gornje i donje baze valjka.[/b][/size]
Dodajmo dužinu na plašt valjka tako da joj jedna krajnja točka pripada kružnici prve baze, a druga krajnja točka pripada kružnici druge baze, pri čemu je ta dužina paralelna s osi valjka. Dobivenu dužinu nazivamo izvodnica valjka.
Definicija.
[b]Izvodnica valjka je dužina koja pripada plaštu valjka, usporedna je s njegovom osi, a rubne točke pripadaju kružnicama koje omeđuju baze valjka.[/b]
U nastavku proučimo dva valjka. Koja je razlika među njima? Koji je odnos između osi valjka i njegove baze?
Definicija.
[size=150][b]Kažemo da je valjak je uspravan ako je njegova os okomita na ravninu baze. Ukoliko os valjka nije okomita na ravninu baze onda kažemo da je valjak kos.[/b][/size]
Povucimo sada dužinu iz središta gornje baze okomito na ravninu u kojoj leži donja baza. Dobivenu dužinu nazivamo visina valjka.
U kojem su odnosu visina valjka i njegove izvodnice kada se visina poklopi s osi valjka?
Definicija.
[b]Visina valjka [i]h[/i] je udaljenost njegovih baza. Za uspravni valjak vrijedi da je visina jednaka duljini njegove izvodnice.[/b]
U nastavku se zadržavamo na uspravnim valjcima.
Prisjetimo se role ubrusa za ruke. Koji geometrijski lik dobivamo kada odmotamo i otrgnemo jedan komad ubrusa? Pokušajte preklopiti dvije nasuprotne stranice lista papira. Je li novi oblik nalik plaštu nekog valjka?
[size=150][size=100]Kad se plašt uspravnog valjka „odmota“ u ravninu, dobiva se pravokutnik. Označimo duljine stranica dobivenog pravokutnika s [i]a[/i] i [i]b.[/i] Ako sa [i]r[/i] označimo duljinu polumjera baze valjka i sa [i]h[/i] visinu valjka onda vrijedi:[/size][br][size=200][math]a=2\cdot r\cdot\pi[/math] [br][math]b=h[/math][/size][/size]
Oplošje valjka
Prisjetimo se kako je oplošje [i]O[/i] geometrijskog tijela jednako zbroju površina svih njegovih strana. Uspravni valjak je omeđen sa dva kruga [i]B[/i] koji su mu baze, te plaštem [i]P [/i]koji se razmota u pravokutnik. Tada je oplošje [i]O[/i] valjka [math]\text{O = 2B+P}[/math] i vrijedi:[br][br][math]B=r^2\cdot\pi[/math][br][math]P=2\cdot r\cdot\pi\cdot h[/math][br][br]Odnosno, oplošje valjka računa se po formuli:[br][br] [math]O=2\cdot r^2\cdot\pi+2\cdot r\cdot\pi\cdot h[/math]
Volumen valjka
Prisjetimo se kako sva tijela zauzimaju određeni prostor. Mjeru zauzetog prostora nazivamo volumen ili obujam tijela. Volumen (obujam) valjka [i]V[/i] računa se općenito kao i volumen prizme, tj. vrijedi:[br][br][math]V=B\cdot h[/math][br][br]Kako je B površina kruga, tj. baze valjka polumjera [i]r[/i], formula ta volumen valjka glasi:[br][br][math]V=r^2\cdot\pi\cdot h[/math][br][br][br][br][br]
1. Zadatak
Visina svakog valjka jednake je duljine kao i njegova izvodnica.
2. Zadatak
Koje su navedene tvrdnje točne?
3. Zadatak
Površina baze valjka iznosi [math]25\pi[/math] cm[sup]2[/sup]. Ako je visina valjka [math]3[/math] dm koliko iznosi oplošje valjka? Koliki je volumen[br]tog valjka?
4. Zadatak - problemski zadatak
Vedran je kupio kalup za led koji se sastoji od 10 praznih posuda oblika valjaka polumjera 1 cm i visine 2 cm koje je napunio sokom od jagode. Prijateljice Ana i Katarina žele mu napakostiti na način da potpuno isprazne kalup i napune ga ljutim umakom iz pune bočice volumena 0.07 L. Hoće li Ana i Katarina imati dovoljno ljutog umaka da napune kalup za led ?