[i][b]Definição:[/b][/i] Considere a função [math]F:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^m[/math] e seja [math]t_0\in I\left(aberto\right)\subseteq D[/math]. Dizemos que [math]F[/math] [i]é derivável em [/i][math]t_0[/math], se[center][math]\lim_{h\rightarrow0}\frac{F\left(t_0+h\right)-F\left(t_0\right)}{h}[/math][/center] existe. Neste caso, definimos a [i]derivada de [/i][math]F[/math][i] em [/i][math]t_0[/math], denotada por [math]F'\left(t_0\right)[/math] ou [math]\frac{dF}{dt}\left(t_0\right)[/math], como sendo o valor deste limite.[br]Sendo assim, temos que:[br][i]"[/i][math]F[/math][i] é derivável em [/i][math]t_0[/math][i] se e somente se suas funções coordenadas são deriváveis em [/i][math]t_0[/math][i] e, neste caso, [/i][math]F'\left(t_0\right)=\left(f_1'\left(t_0\right),f_2'\left(t_0\right),...,f_m'\left(t_0\right)\right)[/math][i]"[br][br][/i][list][*]Logo abaixo, há um exemplo de interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial [math]\vec{r}[/math]. Deslize os parâmetros [math]h[/math] e [math]t_0[/math] para ver o que acontece com o vetor [math]\vec{r}\left(t_0+h\right)-\vec{r}\left(t_0\right)[/math] e com o vetor [math]\frac{\vec{r}\left(t_0+h\right)-\vec{r}\left(t_0\right)}{h}[/math], que é um múltiplo escalar do vetor anteriormente mencionado. Ao fazermos [math]h\rightarrow0[/math], observamos que esse vetor se aproxima de um vetor sobre a reta tangente à curva [math]C[/math] em questão no ponto [math]\vec{r}\left(t_0\right)[/math]. Por esta razão, [math]\vec{r}'\left(t_0\right)[/math] é chamado de vetor tangente à curva [math]C[/math], parametrizada por [math]\vec{r}[/math] no ponto [math]r\left(t_0\right)[/math]. Mais para frente será apresentado o conceito formal de reta tangente à uma curva.[/*][/list]

Observe no recurso abaixo, alguns exemplos de curvas no plano. Deslize o parâmetro [math]t[/math] e verifique o que acontece com o vetor tangente à curva. [color=#ff0000][b]Para uma melhor visualização, selecione UMA caixa de cada vez.[/b][/color][br][br]Em particular, na curva [math]1[/math] há um fenômeno interessante de se observar. Perceba que o vetor tangente em [math]t=0[/math] é o vetor nulo. Porém, isso não significa que a função não é diferenciável em [math]t=0[/math]. Na realidade, ela é diferenciável (note que suas coordenadas são funções diferenciáveis). Isso parece conflitar com o que vemos em Cálculo [math]1[/math], por exemplo na função [math]y=\left|x\right|[/math], onde há um "bico", certo? Só que aqui o cenário é outro: o que estamos vendo é o [b]traço[/b] da função definida de [math]\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2[/math] e o que vemos em Cálculo [math]1[/math] é o [b]gráfico[/b] de uma função definida de [math]\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math]. Quando falamos de diferenciabilidade, estamos interessados em como se comporta o [u][i]gráfico[/i][/u] da função, não o traço dela, por isso há tal diferença: para a diferenciabilidade de uma função vetorial, pouco importa se o traço contém "bicos/quinas" ou não, desde que o gráfico da mesma seja uma curva suave, a função será diferenciável. Pode-se pensar também que o vetor tangente chega no ponto [math]\left(0,0\right)[/math] e o deixa com velocidade nula, o que faz com que a função vetorial seja diferenciável em [math]0[/math].[br][br]Ver seção 13.2 pág. 767 do livro [i]Cálculo, Vol. 2,[/i] [i]James Stewart, Cengage Learning, 7a. edição, 2013.[/i]

Observe no recurso abaixo, alguns exemplos de curvas no espaço. Deslize o parâmetro [math]t[/math] e verifique o que acontece com o vetor tangente à curva. [color=#ff0000][b]Para uma melhor visualização, selecione UMA caixa de cada vez.[br][/b][/color][br]Ver seção 13.2 pág. 767 do livro [i]Cálculo, Vol. 2,[/i] [i]James Stewart, Cengage Learning, 7a. edição, 2013.[/i]

[i][b]Definição:[/b][/i] Seja [math]\vec{r}[/math] uma função contínua e injetora. Dado um ponto [math]\vec{r}\left(t_0\right)\in C[/math], onde [math]C[/math] é a curva parametrizada por [math]\vec{r}[/math] no plano, se [math]\vec{r}'\left(t_0\right)[/math] existe e é não nulo, [i]as equações paramétricas da reta tangente à curva [/i][math]C[/math][i] no ponto [/i][math]\vec{r}'\left(t_0\right)[/math] são dadas por:[center][math]\left(x,y\right)=\vec{r}\left(t_0\right)+t\vec{r}'\left(t_0\right),t\in\mathbb{R}[/math][/center]Se [math]C[/math] é uma curva no espaço, as equações paramétricas da reta tangente nas mesmas condições serão:[center][math]\left(x,y,z\right)=\vec{r}\left(t_0\right)+t\vec{r}'\left(t_0\right),t\in\mathbb{R}[/math][/center][list][*]Há um recurso abaixo no qual você pode determinar a curva com a qual quer trabalhar. Você poderá definir o domínio de [math]t[/math] e o valor dele para o qual deseja calcular a reta tangente. [i](O recurso abaixo em particular foi feito pelo aluno Raphael Brandão)[/i] [/*][/list]