Στην επόμενη δραστηριότητα δίνεται μία οικογένεια πολυωνύμων P(x) 4ου βαθμού, τα οποία μεταβάλλονται από τους δρομείς k ,l ,m και n.[br][br][color=#1e84cc][b]1ο μέρος[/b][/color][br][br][list=1][*]Τί φαίνεται να ισχύει για τον τρόπο που οι δρομείς μεταβάλλουν τη μορφή του πολυωνύμου P(x);[/*][*]Πώς συνδέονται οι τιμές των δρομέων με τις λύσεις της εξίσωσης P(x)=0;[/*][*]Μπορούμε με τη χρήση αυτού του ψηφιακού δομήματος να βρίσκουμε όλους τους [b]παράγοντες[/b] της μορφής x-ρ του πολυωνύμου P(x) ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.[/*][*]Υπάρχει περίπτωση κάποιο πολυώνυμο P(x) αυτής της μορφής να μην τέμνει τον άξονα xx΄; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. [/*][/list][br][color=#1e84cc][b]2ο μέρος[/b][/color][br][br]Ρυθμίστε κατάλληλα τις τιμές των δρομέων ώστε να έχουμε πολυώνυμο P(x):[br][list=1][*]Με 4 [b]ακέραιες[/b] ρίζες. Τι φαίνεται να ισχύει σε αυτή την περίπτωση: [br]α) για τους συντελεστές του P(x); [br]β) για τη σχέση των ριζών με το σταθερό όρο του πολυωνύμου;[br][br][/*][*]Με συντελεστές από το σύνολο [math]\mathbb{R}-\mathbb{Z}[/math] (μη ακέραιους) και [b]ακέραιη ρίζα[/b]. Ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τη σχέση των συντελεστών του πολυωνύμου και των ακέραιων ριζών του όταν αυτές υπάρχουν;[br][br][/*][*]Με ακέραιους συντελεστές και ρίζα που δεν είναι ακέραιος αριθμός (αν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο P(x)). Μπορείτε να δοκιμάσετε να ορίσετε δικό σας πολυώνυμο Q(x).[br]Ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τη σχέση ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές και την ύπαρξη ρητών ριζών του;[/*][/list]