El dominio de una función [math]f\left(x\right)[/math]es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que [math]f[/math] toma.[br][br](En gramática, probablemente le llame al dominio el conjunto reemplazo y al rango el conjunto solución. Quizá también estos han sido llamados la entrada y salida de la función.)[br][br][b]Ejemplo 1:[/b][br]Considere la función mostrada en el diagrama.[br][img width=250,height=250]https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/hotmath_help/topics/domains/domain-and-range-fig1.gif[/img][br][justify][/justify]Aquí, el dominio es el conjunto { [i]A [/i], [i]B [/i], [i]C [/i], [i]E [/i]}. [i]D [/i]no está en el dominio, ya que la función no está definida para [i]D [/i].[br]El rango es el conjunto {1, 3, 4}. 2 no está en el rango, ya que no hay letra en el dominio que se enlace con el 2.[br][br][b]Ejemplo 2:[/b][br]El dominio de la función[br][i]f [/i]( [i]x [/i]) [i]= [/i]1/ [i]x[/i][br]es todos los números reales excepto el cero (ya que en [i]x [/i]= 0, la función no está definida: la división entre cero no está permitida!).[br]El rango también es todos los números reales excepto el cero. Puede ver que hay algún punto en la curva para cada valor de [i]y [/i]excepto para [i]y [/i]= 0.[br][br][img width=300,height=301]https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/hotmath_help/topics/domains/hyperbola.gif[/img][br][br][b]Los dominios pueden también estar explícitamente especificados, si hay valores para los cuales la función pudiera estar definida, pero que no deseamos considerarlos por alguna razón.[/b][br][br][justify][b]Ejemplo 3:[/b][br]La notación siguiente muestra que el dominio de la función está restringido al intervalo (–1, 1).[br][i]f [/i]( [i]x [/i]) = [i]x [/i]2 ,     –1 [img]https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/images/specialchars/lt.gif[/img] [i]x [/i][img]https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/images/specialchars/lt.gif[/img] 1[br][br]La gráfica de esta función es como se muestra. Dese cuenta de los círculos abiertos, que muestran que la función no está definida en [i]x[/i]= –1 y [i]x [/i]= 1. Los valores del rango de [i]y [/i]desde 0 hasta el 1 (incluyendo el 0, pero no incluyendo el 1). Así el rango de la función es[br]0 [img]https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/images/specialchars/le.gif[/img] [i]y [/i]< 1.[/justify][br][img width=300,height=300]https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/hotmath_help/topics/domains/restricted-domain.gif[/img][br]

Para denotar una función generalmente se emplea la letra [math]f[/math], pero cualquier otra, como [math]g[/math] o [math]h[/math] son igualmente válidas. Si f es una función de A en un conjunto B, su correspondencia se escribe [math]f:A→B[/math] que se lee f es una función de A en B y reiteramos qeu el conjunto A se llama dominio de la función y B codominio. Si el elemento "[math]x[/math]" pertenece al conjunto A, o sea que es un argumento de A y el elemento de B que le corresponde es y, entonces a y se le llama imágen de x y se denota por [math]y=f(x)[/math], que se lee "y es igual a f de x". Esta notación no significa "f multiplicada por x", sino una forma de indicar que y es una función de x.Según esta notación, la expresión [math]f(5)[/math] que se lee "f de 5" o "f es 5", indica el valor de y cuando [math]x=5[/math].[br]Por ejemplo, si [math]f(x)=x^2−1[/math], entonces [math]f(5)[/math] se determina de la siguiente manera:[br][math]f(x)=x^2−1[/math][br][math]f(5)=(5)^2−1[/math][br][math]f(x)=25−1[/math][br][math]f(x)=24[/math][br][math]y=24[/math][br][br]Por lo tanto, cuando [math]x=5[/math], entonces [math]y=24[/math][br]Podemos imaginar que una función es como una máquina que toma una alimentación (entrada) x y la transforma o convierte en alguna salida [math]f(x)[/math], como se muestra en la siguiente figura.[br][center][/center][img width=200,height=233]http://cursa.ihmc.us/rid=1K9XS2SFC-FXH64J-3HB/Funciones%20c%C3%B3mo%20m%C3%A1quinas.png[/img][br]Así, por ejemplo, la máquina que vemos en la siguiente figura convierte al número 0 de entrada en 1/3 y al número 1 de entrada en 1 de salida.[br]El conjunto de números que pueden alimentar a la máquina es el [b]Dominio [/b]de la función y el conjunto de números que produce es el [b]Rango [/b]de la función.[br][img width=500,height=104]https://cripton.acatlan.unam.mx/cursos/mdl/pluginfile.php/7104/mod_page/content/5/funciones%20maquina.png[/img][br]Así, podrás darte cuenta que cuando nos referimos al evaluar una función, es, sustituir el valor de x en la función, para despues de operarlo, obtener un cierto valor para y. [br][br][b]Ejercicio 1[/b][br][br]Explora en la siguiente escena cómo se evalúa la función y su representación al mismo tiempo en la gráfica.

Los cables que sostienen un puente colgante forman un arco parabólico como se muestra en la figura. [br]Las torres que sostienen los cables están separados 100 m y tienen una altura de 25 m. Si los cables tocan la superficie del puente a la mitad de la distancia entre las torres.[br]Calcula la altura del cable a 10 m del centro del arco.

Sigue estas instrucciones para resolver el problema usando GeoGebra:[br]1. Crea un segmento de longitud 100 usando la herramienta: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segmentfixed.png[/icon] sobre el eje x[br]2. Selecciona la herramienta punto [icon]/images/ggb/toolbar/mode_complexnumber.png[/icon] y crealo en la coordenada (0,25), llámalo E.[br]3. Crea el vértice V con la herramienta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_complexnumber.png[/icon] en la coordenada (50,0).[br]3. Usa la barra de entrada para crear el punto D, Utiliza el comando: D=(x(V)*2,y(E))[br]4. Crea dos segmentos [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon] que una al punto E con el Origen y el punto D con el punto (100,0)[br]Para poder resolver el problema dados los datos que tenemos, necesitamos encontrar la ecuación de la parábola sabiendo que conocemos el vértice y un punto dado.[br][br]La ecuación de una parábola vértical que cumple esas dos condiciones es:[br][math]\left(x-h\right)^2=4p\left(y-k\right)[/math][br]Recuerda que el vértice se define como: [math]V=(h,k)=\left(50,0\right)[/math] y [math]D=(x,y)=(0,25)[/math][br]Sustituyendo los datos que tenemos sobre la fórmula, tenemos: [br][math](0-50)^2=4p(25-0)[/math][br][math]2500=100p[/math][br][math]p=25[/math][br][br]Dado que el único valor que no conocemos es "p" ; podemos calcularlo automáticamente con Geogebra:[br]5. Utiliza la barra de entrada para calcularlo, digita: [math]p=(x(D)-x(V))^2/(4(y(D)-y(V))[/math][br]¡Ya tenemos todo para graficar nuestra parábola![br]6. Digita en la barra de entrada: [math]g(x):=(x-x(V))^2/4*p[/math][br]7. Ahora, crea un punto sobre el segmento que está en el eje "x" usando [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pointonobject.png[/icon].[br]Esto lo hacemos con la finalidad de poder calcular el valor que nos piden, no solo a 10 m, sino en cualquier valor.[br]8. Crea una recta perpendicular [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon] seleccionando el punto que acabas de crear y el eje "x"[br]9. Ubica la intersección de la parábola y la recta creada usando [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon].[br]10. Esconde la intersección y la recta, y crea un segmento [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon]con líneas punteadas para ubicar su medida, asegúrate de que se muestre en la etiqueta su nombre y su valor.[br][br]Asegúrate dar formato a tu escena para que esta luzca lo mejor posible.[br][br]¡Ahora ya puedes calcular la distancia del piso a la cuerda del puente desde cualquier distancia!

En parejas,revisen el documento que está aquí abajo y realiza los ejercicios propuestos, después regresa a esta escena.

En parejas, exploren la escena como se indica, y respondan a las preguntas en su cuaderno.[br]Usa los deslizadores para graficar las siguientes funciones:[br][b]Parte 1[/b][br]a. [math]y=x^2[/math][br]b. [math]y=-x^2[/math][br]1. ¿En qué se parecen las dos gráficas?[br]2. ¿Cuál es el signo de la función que abre hacia arriba?[br]3. ¿Cuál es el signo de la función que abre hacia abajo?[br]4. ¿Cuál variable es la que me indica hacia donde abrirá la parábola?[br][b]Parte 2[/b][br]a. [math]y=2x^2[/math][br]b. [math]y=3x^2[/math][br]c. [math]y=-2x^2[/math][br]d. [math]y=-3x^2[/math][br]1. ¿Qué tienen en común las cuatro gráficas?[br]2. ¿Hacia donde abren las curvas con coeficiente positivo?[br]3. ¿Hacia donde abren las curvas con coeficiente negativo?[br]4. ¿Qué pasa con la gráfica a medida que el valor absoluto del coeficiente aumenta?[br]5. ¿Describe como sería la gráfica de [math]y=10x^2[/math], es decir, ¿Hacia donde abre?¿Cuál es su vértice?¿Cuantas raíces tendrá?¿Cómo será su amplitud?[br][b]Parte 3[/b][br]a. [math]y=\frac{1}{2}x^2[/math][br]b. [math]y=-\frac{1}{2}x^2[/math][br]1. ¿Cuál es la diferencia entre estas gráficas y las de la parte 2?[br]2. ¿Qué sucede con la gráfica de la función si el coeficiente está entre 0 y 1?[br]3. ¿Qué sucede con la gráfica si el coeficiente es más cercano a 0?[br]4. Describe, ¿Cómo sería la gráfica de [math]y=\frac{1}{16}x^2[/math]?[br][b]Parte 4[br][/b]a. [math]y=x^2+1[/math][br]b. [math]y=x^2-1[/math][br]1. ¿Cómo se diferencían estas funciones con las de los ejercicios anteriores?[br]2. ¿En dónde estan los vértices de las funciones?[br]3. ¿Qué pasa cuando el coeficiente constante es positivo? [br]4. ¿Qué pasa cuando el coeficiente constante es negativo?[br]5. ¿Cuántas soluciones tienen las funciones?[br]6. ¿Cómo sería la gráfica de la función [math]y=5x^2+3[/math]?[br][b]Parte 5[/b][br]a. [math]y=(x+1)^2[/math][br]b. [math]y=(x-1)^2[/math][br]1. ¿Cómo se diferencían estas funciones con las de los ejercicios anteriores?[br]2. ¿En dónde estan los vértices de las funciones?[br]3. ¿Qué pasa cuando el coeficiente constante es positivo? [br]4. ¿Qué pasa cuando el coeficiente constante es negativo?[br]5. ¿Cuántas soluciones tienen las funciones?[br]6. ¿Cómo sería la gráfica de la función [math]y=-2(x+3)^2[/math]?[br][b]Parte 6[/b][br]¡Es tu turno de seguir experimentando![br]Intenta con combinaciones de todos los coeficientes, usa productos notables, fíjate en cuáles es más sencillo localizar las diferentes partes de la parábola.[br]Escribe 5 combinaciones distintas en tu cuaderno.[br]Escribe una conclusión sobre cada combinación.[br]Después de haber revisado y discutido lo anterior[br]¿Te atreves a describir la gráfica de la parábola, sólo observando la expresión algebraica?

3. La línea y = k intersecta la gráfica de la parábola [math]y=3x^2[/math] en los puntos A y B. Los puntos C y D están en el eje X y ABCD es un rectángulo. Si el área de ABCD = 128/9, ¿Cuál es el valor de k? Intentalo en papel antes de Intentarlo con GeoGebra[br][br][img]http://bp0.blogger.com/_4Z2DKqKRYUc/Rq_FO8f4IzI/AAAAAAAAAJc/G6ZYDGWRylw/s320/Img_7-31-07.jpg[/img]