[size=85][size=100]Sonnenoberfläche mit Sonnenflecken[/size][br][size=50](NASA/SDO/Goddard Space Flight Center https://svs.gsfc.nasa.gov/11136)[/size][/size]
Sonne und Sinus
Auswirkung von Parameter auf Funktionsgraphen: Ziel dieser Unterrichtssequenz ist es, den Sonnenzyklus durch eine Sinusfunktion anzunähern und vorhersagen zu können. Dazu werden die Auswirkungen verschiedenster Parameter auf den Graphen der Sinusfunktion analysiert und beschrieben.
Table of Contents
- physikalischer Hintergrund: Sonnenflecken
- physikalischer Hintergrund: Sonnenflecken
- Aufgabe
- Aufgabe
- Parameter
- Parameter a
- Parameter b
- Parameter c
- Parameter d
- alle Parameter gemeinsam
- weitere Funktionen
- weitere Funktionen
- Vorhersage des Sonnenzyklus
- 24. Sonnenzyklus (2008-2019)
- Tatsächlicher 24. Sonnenzyklus
- 25. Zyklus (2019-...)
- Knobelteam
- Knobelteam
physikalischer Hintergrund: Sonnenflecken
Unsere Sonne ist keineswegs so ruhig, wie es scheint – im Inneren geht es sehr bewegt zu! Wie jeder andere Stern erzeugt die Sonne Energie durch Kernverschmelzungen (= Kernfusion).[br]Bereits Anfang des 17. Jahrhunderts entdeckte Galileo Galilei schwarze Flecken auf der Sonne, die sich über Jahre hinweg in ihrer Größe veränderten. Die Entdecker der Sonnenflecken glaubten, es handle sich etwa um Wolken auf der Sonne oder um Planeten, die um die Sonne kreisen. Erst im 20. Jahrhundert gelang es eine wissenschaftliche Interpretation des Phänomens der Sonnenflecken zu geben.[br][br]Sonnenflecken entstehen durch starke Magnetfelder und ihre Anzahl auf der Sonnenoberfläche wechselt periodisch. Der Apotheker H. Schwabe konnte bereits Mitte des 19. Jahrhunderts zeigen, dass die Anzahl durchschnittlich alle 11 Jahre einen vollen Zyklus (Minimum-Maximum-Minimum) durchschreitet.[br][br]Die Flecken erscheinen schwarz, weil durch das Magnetfeld ein Teil der Energie der Sonne zurückgehalten wird und nicht aus der Sonne austreten kann. Das Problem bei Sonnenflecken ist allerdings, dass durch diese sehr viel mehr UV-Strahlung emittiert wird als sonst. Die erhöhte UV-Intensität führt auf der Erde zu einem Temperaturanstieg und trägt zur Erderwärmung bei. Das bedeutet, je mehr Sonnenflecken vorhanden sind, desto größer ist die ankommende Energie auf der Erde und diese erwärmt sich.[br][br]Es besteht daher besonders großes wissenschaftliches Interesse, das Sonnenflecken-Maximum bestmöglich vorherzusagen.[br][br]Hier ein Video, dass die Größe der Sonnenflecken im Vergleich zur Erde zeigt:[br][br][br]
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Aufgabe
Sonnenflecken treten in periodischen Zeiträumen immer wieder auf. Sie dienen der Wissenschaft für klimatische Vorhersagen (vgl. Kapitel "Physikalischer Hintergrund").[br][br]Die regelmäßige Veränderung der Sonnenfleckenanzahl kann mit einer Funktion [math]f\left(x\right)=a\cdot sin\left(b\cdot\left(x-c\right)\right)+d[/math] gut genähert werden. Ziel ist es nun, durch die passende Wahl der Parametern [math]a,b,c[/math] und [math]d[/math] die Sonnenfleckenzahl für die 24. Periode zu validieren bzw. für die 25. Periode vorherzusagen.
Sonnenfleckenanzahl von 1820 - 2010
© 2020 tempsvrai.com
In der Abbildung ist die beobachtete Sonnenfleckenanzahl von 1820 bis 2010 dargestellt. Die Periodizität kann man gut erkennen!
__________________________________________________________________________________________________________________[br][size=85]Idee:[br]Friedrich Verlag GmbH, mathematik lehren, Nr. 204 (2017).[br]Zum Beitrag S. 29–32[/size]
Parameter a
Mit Hilfe der Funktion [math]f\left(x\right)=a\cdot sin\left(b\cdot\left(x-c\right)\right)+d[/math] kann man beliebige periodische Vorgänge beschreiben: Ebbe und Flut, Länge der Tage über ein Jahr, Töne,...[br]Mit diesem Applet kannst du dir erarbeiten, welche Rolle der Parameter [math]a[/math] in der Funktion [math]f\left(x\right)[/math] spielt.
Aufgabe
Du siehst die Funktion [math]f\left(x\right)=a\cdot sin\left(x\right)[/math]. Verändere nun den Schieberegler für den Parameter [math]a[/math] und beantworte folgende Frage bzw. notiere deine Beobachtungen!
Durch das Verändern des Parameters [math]a[/math] ...
Fülle die Textlücken!
__________________________________________________________________________________________________________________[br][size=85]Idee:[br]Friedrich Verlag GmbH, mathematik lehren, Nr. 204 (2017).[br]Zum Beitrag S. 29–32[/size]
weitere Funktionen
Natürlich verändern die Parameter [math]a,b,c[/math] und [math]d[/math] nicht nur den Graph der Funktion [math]f(x)=a\cdot sin(b)\cdot\left(x-c\right)+d[/math] sondern auch [math]f(x)=a\cdot g\left(b\left(x-c\right)\right)+d[/math], wobei [math]g(x)[/math] jede beliebige Funktion sein kann.[br][br]Im folgenden Applet können die Auswirkungen auf den Graph von 3 weiteren Funktionen ausprobiert werden. Dabei sind[math]f(x),g(x)[/math] und [math]m(x)[/math]die ursprünglichen Funktionen und [math]f\text{^\text{*}}(x),g\text{\text{*}}(x)[/math] und [math]m^´^{ }(x)[/math] jene mit den Parametern [math]a,b,c[/math] und [math]d[/math].
Kontrolle:
Kontrolliere nun für jede Funktion und jeden Parameter, ob deren Änderung auch die erwarteten Auswirkungen auf die Graphen der Funktionen haben. Nutze dazu die "Merkregeln" aus dem vorherigen Kapitel als Checkliste!
24. Sonnenzyklus (2008-2019)
Geht man von einer durchschnittlichen Zyklusdauer von 11 Jahren aus und betrachtet man die Messdaten seit 1978, so hat am Jahresanfang von 2008 der 24. Sonnenzyklus der Messgeschichte begonnen.[br][br]Die große Frage für die Wissenschaft ist nun, wann das Maximum der Sonnenfleckenanzahl erreicht wird und wann der 25. Zyklus beginnen wird.
Aufgabe
Im folgenden Applet sind die Messdaten von 1978 bis 2010 als Punkte eingetragen. Versuche nun durch eine Funktion [math]f(x)[/math] und passend gewählte Parameter [math]a,b,c[/math] und [math]d[/math] den Verlauf der Messpunkte möglichst genau anzupassen (Hinweis: die Periodizität scheint sinusförmig zu sein).[br][br][list=1][*] Wenn die Näherung gut passt, notiere dir die gewählten Parameter.[/*][*]Prognostiziere das Maximum des 24. Sonnenzyklus (Jahr und ungefähre Sonnenfleckenanzahl) und notiere es.[/*][*]Prognostiziere das Ende des 24 Sonnenzyklus und notiere es.[/*][/list]
__________________________________________________________________________________________________________________[br][size=85]Idee:[br]Friedrich Verlag GmbH, mathematik lehren, Nr. 204 (2017).[br]Zum Beitrag S. 29–32[/size]
Knobelteam
Nachdem Du alle Kapitel erfolgreich bearbeitet hast und eine Vorhersage des 25. Sonnenzyklus getroffen hast, folgt nun ein Übungsspiel: Knobelteam[sup]1[/sup].[br][br][b][u]Wie geht das?[/u][/b][br]1.) Gruppen zu je 4 Personen werden eingeteilt.[br]2.) Jedes Gruppenmitglied bekommt eine Karte, die eine Bedingung enthält.[br]3.) In der Gruppe wird eine Lösung gesucht, die alle Bedingungen enthält.[br]4.) Die Lösung wird mit folgendem [icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]-Applet kontrolliert.[br][br][b][u]Regeln (!):[/u][/b][br]In der Gruppe soll gemeinsam eine Lösung erarbeitet werden. Jedes Gruppenmitglied hat eine Bedingung, die die Lösung erfüllen muss. Ihr dürft in der Gruppe [b]über[/b] eure Bedingung sprechen, sie jedoch [b]nicht herzeigen[/b] bzw. sie [b]nicht aufschreiben oder vorlesen[/b]![br][br]
Aufgabe
Ihr sollt gemeinsam eine Funkion finden, die alle vorgegebene Eigenschaften erfüllt. Der Graph dieser Funktion soll in der Vorlage dargestellt werden![br]In der Vorlage ist außerdem der Graph der ursprünglichen Funktion zu sehen, zeichnet eure Lösung einfach in die Vorlage![br][br][b]Für Distance-Learning[/b]: Jedes Gruppenmitglied bekommt per Chat eine Bedingung. Der Graph der Funktion soll dann in einer Google-Zeichnung skizziert werden (Link folgt im Chat).[br][br]
Kontrolle
Kontrolliert euer Ergebnis mit folgendem Applet:
___________________________________________________________________________________________________[br][sup][/sup][size=85][sup]1[/sup]) Barzel, B., Büchter, A. & Leuders T. (2019). Mathematik Methodik. Berlin: Conelsen.[/size]