[size=200][b][color=#38761d][size=150]1.3 Quadratische Funktionen (n = 2) | [/size][/color][/b][size=150]Normalform: [/size][/size][math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][br][br][size=100]Die Graphen von Quadratischen Funktionen nennt man [b]Parabeln[/b]. [br]Man unterscheidet grundsätzlich[b] 3 verschiedene Formen[/b] von Quadratischen Funktionen:[br][br]- [b]Normalform: [math]f_1\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][br][/b]- [b]Scheitelpunktform: [/b][math]f_2\left(x\right)=a\left(x-d\right)^2+e[/math][br]- [b]Nullstellenform: [/b][math]f_3\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)[/math][br][br]Um von der Normalform zur Scheitelpunktform (oder umgekehrt) zu gelangen,[br]benötigt man die [b]2. binomische Formel: [math]\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2[/math][/b]. Hier ein [b]Beispiel[/b]:[br][br][math]f\left(x\right)=-2x^2+8x-3[/math][br][math]=-2\left(x^2-4x\right)-3[/math][br][math]=-2\left(x^2-2\cdot\left(-2\right)\cdot x+4-4\right)-3[/math][br][math]=-2\left(\left(x-2\right)^2-4\right)-3[/math][br][math]=-2\left(x-2\right)^2+8-3[/math][br][math]=-2\left(x-2\right)^2+5[/math][br][br]An der Scheitelpunktform kann man nun einige [b]Eigenschaften des Graphen[/b] ablesesen:[/size][br][br][size=100]- [b]Scheitelpunkt:[/b] P = ( [color=#0000ff]d[/color] | [color=#6aa84f]e[/color] )[br]- [b]Streckungsfaktor a:[/b] [/size][br] [math]\left|a\right|>1[/math] [math]\longrightarrow[/math] Parabel gestreckt [br] [math]\left|a\right|<1[/math] [math]\longrightarrow[/math] Parabel gestaucht[br]- [b]Öffnung: [/b][br] [math]a>0[/math] bzw. positiv [math]\longrightarrow[/math] Öffnung nach oben[br] [math]a<0[/math] bzw. negativ [math]\longrightarrow[/math] Öffnung nach unten[br][br]- [b]Symmetrieeigenschaften: [/b]Achsensymmetrisch zu [math]x=d[/math][br]- [b]Nullstellen: [/b]Scheitelpunkt P [b]≙[/b] doppeste Nullstelle, wenn P auf x-Achse ([math]e=0[/math])[br] Keine, wenn...[br] ... nach oben Verschoben ([math]e>0[/math]) & Öffnung nach oben ([math]a>0[/math])[br] ... nach unten Verschoben ([math]e<0[/math]) & Öffnung nach unten ([math]a<0[/math])[br][br][br][br]Je nach Situation benötigt man um die Nullstellen zu berechnen vielleicht die [b]Mitternachtsformel[/b]:[br][br] [math]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][br]Eine andere Möglickeiten bietet das [b]Ausklammern[/b]:[br][br] [math]ax^2+bx=x\left(ax+b\right)[/math]

[br][b][color=#1e84cc]Und falls das ein wenig zu kompliziert für dich war, hier ein Video von @Mathe - simpleclub:[/color][/b]