Quadratische Funktionen und Parabeln
Interaktive Geogebra-Arbeitsblätter kombiniert mit klassischen Arbeitsblättern zum ausrucken, Online-Präsentationen zur Erklärung, Vorschlägen für Hefteinträge und interaktiven Übungen. Das Material eignet sich zur komplett eigenständigen Erarbeitung des Themas [i]Quadratische Funktionen und ihre Graphen[/i]. Lediglich die gesamte Thematik der Quadratischen Gleichungen (also auch der Nullstellen) bleibt ausgeklammert.
Table of Contents
- Wiederholung und Einstieg
- Arbeitsblatt zum Aufwärmen
- Hefteintrag
- Die Einfachste
- Quadratfunktion und Normalparabel
- Ist dein Schaubild korrekt?
- Eigenschaften von Parabeln
- Verschieben der Normalparabel
- Vertikale Verschiebung - Wertetabelle
- Lösung Vertikale Verschiebung
- Horizontale Verschiebung - Wertetabelle
- Lösung Horizontale Verschiebung
- Verschiebung kombiniert
- Übungen
- Strecken und Stauchen
- Streckung/Stauchung - Wertetabelle
- Zeichnen auf Gummifolie
- Stauchen/Strecken Erklärung
- Übung 1
- Übung 2
- Allgemeine quadratische Funktion in Scheitelform
- Einführung
- Übungen
- Normalform - Scheitelform
- Einführung
- Umrechnungen
Arbeitsblatt zum Aufwärmen
Bitte lade das folgende Arbeitsblatt herunter, drucke es aus und bearbeite es:
Einstieg
Quadratfunktion und Normalparabel
Wie sieht die einfachste quadratische Funktion aus?
Im Einführungskapitel hast du gelernt, dass Funktionen, die ein [math]x^2[/math] im Funktionsterm haben, [b]quadratische Funktionen [/b]heißen. Logischerweise sieht dann die einfachste quadratische Funktion so aus: [math]y=x^2[/math].[br][br]Sie wird [b]Quadratfunktion[/b] genannt. Diese Funktion wollen wir nun näher untersuchen. Dazu erstellen wir eine Wertetabelle und zeichnen ihr Schaubild.
Hefteintrag:
[size=100][size=200][br][/size][/size][quote][size=150][br]1.Quadratfunktion und Normalparabel[/size][size=150][size=100][br][br]Die einfachste quadratische Funktion hat die Gleichung [math]y=x^2[/math] [br]und heißt [b]Quadratfunktion.[br][br]Wertetabelle der Quadratfunktio[/b][/size][/size][b]n:[br][img]data:image/png;base64,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[/img][/b][/quote]Die Wertetabelle sollst du natürlich ergänzen.
Zeichne nun auch ein Schaubild dieser Funktion![br][br]Tipps dazu:[br][list][*]Überlege vorher, wie viel Platz du brauchst und wie du die Achsen einteilst[/*][*]Zeichne die einzelnen Punkte als Kreuzchen ein[/*][*]Verbinde die Punkte mit einer möglichst "runden" Linie [/*][/list][br][quote][br][b]Schaubild der Quadratfunktion:[/b][i][b][br][br] [/b]- hier kommt das Schaubild hin -[br][b][br][/b][/i]Der Graph (das sind die Punkte mit der Verbindungslinie) der Quadratfunktion heißt [b]Normalparabel[/b].[/quote]
Vertikale Verschiebung - Wertetabelle
Untersuche, wie sich die Graphen der Funktionen [math]y=x^2[/math] und [math]y=x^2+1,5[/math] unterscheiden. Drucke dir dazu das [url=https://www.dropbox.com/s/oxac3k4qmbgbszt/Vertikale_Verschiebung.pdf?dl=0]Arbeitsblatt[/url] aus und bearbeite es.
Streckung/Stauchung - Wertetabelle
Auch hier gibt es als erstes ein [url=https://www.dropbox.com/s/3lucg31u8k49l3w/Streckung_Stauchung.pdf?dl=0]Arbeitsblatt[/url] zum ausdrucken. Bitte bearbeite es sorgfältig, auch wenn es fast genauso aussieht wie die beiden letzten.
Einführung
Bisher hattest du die folgenden Funktionen:[br][br][list][*]vertikal verschobene Normalparabel: [math]y=x^2+c[/math][/*][*]horizontal verschobene Normalparabel: [math]y=\left(x+b\right)^2[/math] [/*][*]gestreckte/gestauchte/geklappte Parabel: [math]y=a\cdot x^2[/math] [br][/*][/list][br]Jetzt werden wir alle drei Veränderungen miteinander kombinieren, damit wir beliebig verschobene Parabeln mit beliebiger Streckung bekommen. Eine solche Funktionsgleichung sieht dann so aus: [math]y=a\cdot\left(x+b\right)^2+c[/math][br][br][quote][br][size=150]Allgemeine quadratische Funktion in Scheitelform[br][size=100][br][/size][/size]Funktionen der Form [math]y=a\cdot\left(x+b\right)^2+c[/math] heißen allgemeine quadratische Funktionen. Diese Art, die Funktionsgleichung aufzuscheiben heißt Scheitelform*, weil man daraus direkt den Scheitelpunkt ablesen kann.[br][br]Die Zahlen a, b und c heißen [i]Parameter [/i]und haben folgende Wirkungen:[br][list][*]a streckt, staucht oder klappt um[br][/*][*]b verschiebt horizontal[br][/*][*]c verschiebt vertikal[/*][/list][br][b]Beispiel:[br][/b]Die Funktion mit der Gleichung [b][math]y=2\cdot\left(x-3\right)^2-5[/math] [/b]ist eine mit Faktor 2 gestreckte Parabel, die um 3 nach rechts (dran denken: "falsch rum") und um 5 nach unten verschoben ist. Ihr Scheitelpunkt ist also [math]S=\left(3;-5\right)[/math].[/quote][b]Zeichne nun diese Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem in dein Heft.[/b][br][br][b]Tipp: [/b][br]Erst den Scheitelpunkt einzeichnen (hier schon erledigt) und dann von dort aus eine gestreckte Parabel aufbauen, so wie in dem folgenden Bild erklärt:
[br][br]* Es gibt noch eine andere Form, die Normalform, die du später kennen lernst.
Einführung
Bisher haben wir die Scheitelform der quadratischen Funktionen benutzt. Es gibt noch eine weitere Art, wie man die Funktionsgleichung darstellen kann. Sie heißt [b]Normalform [/b]und sieht so aus:[br][b][br][/b][math]y=a\cdot x^2+p\cdot x+q[/math][br][br]Zum Vergleich nochmal die Scheitelform:[br][br][math]y=a\cdot\left(x+b\right)^2+c[/math][br][br]Bei der Scheitelform war praktisch, dass man den Scheitelpunkt direkt ablesen kann. An der Normalform sind andere Dinge praktisch, die du eigentlich erst später so richtig zu schätzen lernen wirst. Aber trotzdem sollst du sie schon mal kennen lernen.[br][br]Die Frage, um die es in diesem Kapitel gehen soll, ist folgende:[br][b]Wie kann man eine Funktion von der Scheitelform in die Normalform umrechnen und umgekehrt?[br][/b][br][quote][br][size=150][size=200][/size][/size][b][size=150]Quadratische Funktionen in Normalform[size=200][/size][/size][/b][size=150][br][size=100][br]Ist eine[/size][/size] quadratische Funktion in der Form [math]y=a\cdot x^2+p\cdot x+q[/math] gegeben, spricht man von der [b]Normalform[/b].[br][br]Bsp: [math]y=2x^2+3x-5[/math], [math]y=-x^2-\frac{1}{2}x+1[/math] oder [math]-0,5x^2+3x[/math][br][br]An den Zahlen in der Funktionsgleichung kann man hier nicht sehen, wie die Parabel verläuft.[/quote]Im folgenden Schaubild kannst du dir das angucken: Die 2 und die 3 tauchen nirgends in der Zeichnung auf. Lediglich die -5 bestimmt den Schnittpunkt mit der y-Achse.