[size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/ggvbukux]"Loxodrome" ? Oder nicht ?[/url] [color=#ff7700](29.12.2019)[/color][/right][/size][br][br][size=85]Diese schönen geschlossenen Kurven sind [i][b]k e i n e[/b][/i] [color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color]! Der [color=#999999][i][b]Winkel[/b][/i][/color] zwischen den [color=#ff0000][i][b]Querkreisen[/b][/i][/color] und diesen [color=#e69138][i][b]Kurven[/b][/i][/color] schwankt zwar nicht sehr, aber er ist jedenfalls nicht konstant! Für [math]n=m[/math] erhält man insbesondere keinen [b]Villarceau[/b]schen Kreis: die zugehörige [color=#e69138][i][b]Kurve[/b][/i][/color] liegt nicht in einer Ebene, wie man durch geeignete Perspektive der Ansicht unschwer erkennt.[br][br][table][tr][td] [math]\mathbf{Torus}\left(u,v\right)=\begin{matrix}\begin{matrix}\left(\begin{matrix}\left(R+r\cdot \cos\left(v\right)\right)\cdot \cos\left(u\right)\\\left(R+r\cdot \cos\left(v\right)\right)\cdot \sin\left(u\right)\\r\cdot \sin\left(v\right)\end{matrix}\right)\end{matrix}\end{matrix}[/math][br] [br] mit [math]-\pi\le u,v\le\pi[/math][br] [/td][td] [math]\mathbf{Kurve}(t)=\left(\begin{matrix}\left(R+r\cdot \cos\left(m\cdot t\right)\right)\cdot \cos\left(n\cdot t+\sigma\right)\\\left(R+r\cdot \cos\left(m\cdot t\right)\right)\cdot \sin\left(n\cdot t+\sigma\right)\\r\cdot \sin\left(m\cdot t\right)\end{matrix}\right)[/math][br] [br] mit [math]-\mathbf{KGV}\left(n,m\right)\cdot\pi\le t\le \mathbf{KGV}\left(n,m\right)\cdot\pi[/math][br] [math]\sigma[/math] ist der Drehwinkel![/td][/tr][/table][br]Zu den [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/sy2kxrgf]echten Torus-Loxodromen[/url].[br][br][table][tr][td] Parameterdarstellung [br] der echten [color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color]: [/td][td][math]\mathbf{Loxodrome}(t)=\frac{\sqrt{R^2-r^2}}{R-r\cdot \cos\left(\frac{m}{n}\cdot t\right)}\left(\begin{matrix}\sqrt{R^2-r^2}\cdot \cos\left( t+\sigma\right)\\ \sqrt{R^2-r^2} \cdot \sin\left( t+\sigma\right)\\r\cdot \sin\left(\frac{m}{n}\cdot t\right)\end{matrix}\right)[/math][br] [br] mit [math]-\mathbf{KGV}\left(n,m\right)\cdot\pi\le t\le \mathbf{KGV}\left(n,m\right)\cdot\pi[/math][/td][/tr][/table][/size]