[size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/ggvbukux]"Loxodrome" ? Oder nicht ?[/url] [color=#ff7700](29.11.2019)[/color][/right][/size][size=85][color=#38761D][i][b]Logarithmischen Spiralen[/b][/i][/color] erhält man komplex mit der [i][b]Exponential-Funktion[/b][/i]:[br][list][*]Die Kurve [math]t\mapsto z(t)=exp\left(t\cdot w\right)\cdot z_0[/math] mit [math]t\in\mathbb{R}[/math], [math]z_0\in\mathbb{C}[/math] und einem komplexen [math]w[/math] erzeugt [br]eine [color=#0000ff][i][b]logarithmische Spirale[/b][/i][/color] um 0 und [math]\infty[/math] durch [math]z_0[/math]; [math]\arg(w)[/math] liefert den Schnittwinkel mit den [color=#0000ff][i]Ursprungsstrahlen[/i][/color].[/*][/list][/size][size=85][i][b]Stereographisch[/b][/i] auf die Kugel projiziert erhält man eine [i][b]Loxodrome[/b][/i] in herkömmlicher Definition.[br][list][*]Die Kurve [math]t\mapsto w\left(t\right)=\frac{p_{\infty}\cdot z\left(t\right)-p_{-\infty}\cdot q}{z\left(t\right)-q}[/math] mit [math]q=\frac{p_{\infty}-p_e}{p_{-\infty}-p_e}[/math] erzeugt eine "Loxodrome" um die Punkte [math]p_{\infty}[/math] und [math]p_{-\infty}[/math].[/*][/list][i][b]Stereographisch[/b][/i] auf die Kugel projiziert erhält man eine [color=#0000ff][i][b]"Loxodrome"[/b][/i][color=#000000] um die Bildpunkte von [math]p_{\infty}[/math] und [math]p_{-\infty}[/math]. [/color][/color][br][size=85][br]Die [i][b]stereographische Projektion[/b][/i] der [math]xy[/math]-Ebene auf die [color=#4C1130][i][b]Einheitskugel[/b][/i][/color] [math]x^2+y^2+z^2=1[/math] vom [color=#999999][i][b]Nordpol[/b][/i][/color] aus:[br]Wir beschreiben die Punkte in der [math]xy[/math]-Ebene durch komplexe Zahlen [math]z\in\mathbb{C}[/math] (und nehmen den Konflikt mit der [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color]-[b]z[/b]-Richtung in [b]3D[/b] in Kauf!). [i]Realteil[/i] und [i]Imaginärteil[/i] kürzen wir [color=#980000][i][b]geogebrisch[/b][/i][/color] mit [math]x(z)[/math] und [math]y(z)[/math] ab:[br][/size][/size][list][*][size=85][size=85][i][b]Stereographische Projektion[/b][/i]: [math]z\mapsto P\left(z\right):=\frac{1}{1+\left|z\right|^2}\cdot\left(2\cdot x\left(z\right),2\cdot y\left(z\right),\left|z\right|^2-1\right)[/math] für [math]z\in\mathbb{C}[/math][/size][/size][/*][/list][size=85][size=85]Leicht zu sehen ist, dass das Innere des Einheitskreises auf die untere Halbkugel abgebildet wird. Die Projektion ist winkel- und kreistreu, wenn man, wie möbiusgeometrisch üblich, "Geraden" auch als "Kreise" ansieht![br][/size][/size]