ESTUDO DAS FUNÇÕES
Neste livro exploraremos as Funções Afim, Quadrática, Exponencial, Logarítmica e Trigonométricas.
Table of Contents
- Função Afim
- Estudo das Funções a partir do Registros de Representações Semióticas de Duval
- Construção do gráfico da Função Afim
- Função Afim
- Função Quadrática
- Função Quadrática (completa)
- Função Exponencial e Logarítimica
- Função Exponencial
- Gráfico da Função Logarítmica
- Gráficos da Função Exponencial e Logarítmica
- Funções Trigonométricas
- Gráfico da Função Seno-influência dos parâmetros
- Gráfico da Função Cosseno-influência dos parâmetros
- Gráfico da Função Tangente-influência dos parâmetros
Estudo das Funções a partir do Registros de Representações Semióticas de Duval
Registros de Representações Semióticas de Duval
O que é uma circunferência?
Representações do objeto "Circunferência".
O que Duval diz?
[size=100][size=150][b]“não se pode ter compreensão em matemática, se nós não distinguirmos um objeto de[br]sua representação” (DUVAL, 2009, p.14). [/b][/size][/size][br][br][br]
Sistemas Semióticos dos Objetos Matemáticos
Atividades Cognitivas
[size=150][b]1ª atividade: Formação das Representações[br]2ª atividade: Transformações (Tratamentos e Conversões)[/b][/size][br][br][br]
Tratamentos
Conversões
Função Quadrática (completa)
Influência dos parâmetros no comportamento do gráfico
1-Marque a caixa "Coeficientes". Altere o parâmetro "a". Qual a influência desse parâmetro no comportamento do gráfico?
2-Marque as caixas "Coeficientes" e "Ponto de interseção com o Eixo Y". Altere o parâmetro"c". Qual a influência desse parâmetro no comportamento do gráfico?
3-Marque a caixa "Coeficientes". Altere os parâmetros "b" e “a”.[br]Qual a influência do parâmetro b no comportamento do gráfico?
Zeros da Função
1. Marque as caixas "Coeficientes", “Zeros da Função” e “discriminante ([math]\Delta[/math]). Observe os “Zeros da Função”, ou seja, os pontos de interseção com o eixo x. Observe também o valor de [math]\Delta[/math]. Altere os parâmetros “a”, "b" e “c” de forma que consiga ver valores de [math]\Delta[/math] maiores que zero, menores que zero e igual a zero. O que acontece com o gráfico quando [math]\Delta[/math]>0, ou seja, quando é positivo?
2. Marque as caixas "Coeficientes", “Zeros da Função” e “discriminante ([math]\Delta[/math]). Observe os “Zeros da Função”, ou seja, os pontos de interseção com o eixo x. Observe também o valor de [math]\Delta[/math]. Altere os parâmetros “a”, "b" e “c” de forma que consiga ver valores de [math]\Delta[/math] maiores que zero, menores que zero e igual a zero. O que acontece com o gráfico quando [math]\Delta[/math]<0, ou seja, quando é negativo?
3. Marque as caixas "Coeficientes", “Zeros da Função” e “discriminante ([math]\Delta[/math]). Observe os “Zeros da Função”, ou seja, os pontos de interseção com o eixo x. Observe também o valor de [math]\Delta[/math]. Altere os parâmetros “a”, "b" e “c” de forma que consiga ver valores de [math]\Delta[/math] maiores que zero, menores que zero e igual a zero. O que acontece com o gráfico quando [math]\Delta[/math]=0?
4. Deixe marcada apenas a caixa "Coeficientes". Altere os parâmetros “a” para 1, "b" para -5 e “c” para 4. Nesse caso, a função será igual a f(x)=x²-5x+4. As raízes (ou zeros) da função são iguais a:
5. Deixe marcada apenas a caixa "Coeficientes". Altere os parâmetros “a” para 1, "b" para 4 e “c” para 4. Nesse caso, a função será igual a f(x)=x²+4x+4. As raízes (ou zeros) da função são iguais a:
6. Deixe marcada apenas a caixa "Coeficientes". Altere os parâmetros “a” para 1, "b" para -3 e “c” para 4. Nesse caso, a função será igual a f(x)=x²-3x+4. As raízes (ou zeros) da função são iguais a:
Estudo do Sinal da Função
1. Marque as caixas "Coeficientes", “Zeros da Função” e “mostrar y=f(x). Altere os parâmetros “a” para 1, "b" para -5 e “c” para 4. Nesse caso, a função será igual a f(x)=x²-5x+4. Movimente o ponto X sobre o eixo x e observe quando f(x) é positivo ou negativo. Para quais valores de x a função é positiva?
2. Marque as caixas "Coeficientes", “Zeros da Função” e “mostrar y=f(x). Altere os parâmetros “a” para -1, "b" para 0 e “c” para 4. Nesse caso, a função será igual a f(x)=-x²+4. Movimente o ponto X sobre o eixo x e observe quando f(x) é positivo ou negativo. Para quais valores de x a função é negativa?
3. Marque as caixas "Coeficientes", “Zeros da Função” e “mostrar y=f(x). Altere os parâmetros “a” para 1, "b" para -2 e “c” para 2. Nesse caso, a função será igual a f(x)=x²-2x+2. Movimente o ponto X sobre o eixo x e observe quando f(x) é positivo ou negativo. Para quais valores de x a função é positiva?
4. Marque as caixas "Coeficientes", “Zeros da Função” e “mostrar y=f(x). Altere os parâmetros “a” para -1, "b" para 2 e “c” para -3. Nesse caso, a função será igual a f(x)=-1x²+2x-3. Movimente o ponto X sobre o eixo x e observe quando f(x) é positivo ou negativo. Para quais valores de x a função é positiva?
Vértice da Parábola, imagem e valor máximo ou mínimo da função quadrática
1. Deixe marcada apenas a caixa "Coeficientes" e "Vértice". Altere os parâmetros “a” para 1,"b" para -4 e “c” para 2. Nesse caso, a função será igual a f(x)=x²-4x+2. Nesse caso, o vértice da parábola é:
2. Deixe marcada apenas a caixa "Coeficientes" e "Vértice". Altere os parâmetros “a” para -1,"b" para -4 e “c” para 2. Nesse caso, a função será igual a f(x)=-x²-4x+2. Nesse caso, o valor máximo da função é:
3. Deixe marcada apenas a caixa "Coeficientes" e "Vértice". Altere os parâmetros “a” para -1,"b" para 4 e “c” para 2. Nesse caso, a função será igual a f(x)=-x²+4x+2. Nesse caso, o [b]valor de x[/b] para o qual f(x) assume valor máximo é:
4. Deixe marcada apenas a caixa "Coeficientes" e "Vértice". Altere os parâmetros “a” para 1,"b" para 4 e “c” para 3. Nesse caso, a função será igual a f(x)=x²+4x+3. Nesse caso, o conjunto imagem da função é:
Intervalo em que a função é Crescente ou Decrescente
1. Deixe marcadas apenas as caixas "Coeficientes" e "vértice". Altere os parâmetros “a” para 1,"b" para 4 e “c” para 3. Nesse caso, a função será igual a f(x)=x²+4x+3. Nesse caso, a função é crescente quando:
2. Deixe marcadas apenas as caixas "Coeficientes" e "vértice". Altere os parâmetros “a” para -1,"b" para 4 e “c” para 0. Nesse caso, a função será igual a f(x)=-x²+4x. Nesse caso, a função é decrescente quando:
Interpretação Global para função quadrática
Função Exponencial
A função [math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/math] dada por [math]f\left(x\right)=b^x[/math] (com [math]b>0[/math] e [math]b\ne1[/math]) é denominada de função exponencial de base b. A figura seguinte mostra um exemplo de função exponencial.
Reflexão 1
A tabela apresenta as coordenadas de alguns pontos dessa função. Altere a posição do ponto que está sobre eixo x e observe os novos pontos e dados da tabela. Selecione também "Exibir/esconder gráfico". Descreva como é comportamento deste gráfico.
Reflexão 2
Altere o valor de b para 1. O que acontece com gráfico?
Reflexão 3
Altere b para algum valor negativo. O que acontece com gráfico? Ainda temos uma função? Por que?
Reflexão 4
Altere b para algum valor entre 0 e 1. O que acontece com gráfico?
Reflexão 5
Altere a para 1. O que acontece com gráfico?
Gráfico da Função Seno-influência dos parâmetros
I- Influência dos parâmetros no comportamento do Gráfico
1-Altere o valor de "a" e observe o gráfico. O que acontece com o gráfico?
2-Altere o valor de "b" e observe o gráfico. O que acontece com o gráfico?
3-Altere o valor de "c" e observe o gráfico. O que acontece com o gráfico?
4-Altere o valor de "d" e observe o gráfico. O que acontece com o gráfico?
II- Influência dos parâmetros no domínio, imagem e período da Função.
1-Altere o valor de "a" e observe o gráfico. O que acontece com o domínio, imagem e o período da função?
2-Volte o valor de "a" para 0. Altere o valor de "b" e observe o gráfico. O que acontece com o domínio, imagem e o período da função?
3-Volte o valor de "a" para 0 e "b" para 1. Altere o valor de "c" e observe o gráfico. O que acontece com o domínio, imagem e o período da função?
4-Volte o valor de "a" para 0, "b" para 1 e "c" para 1. Altere o valor de "d" e observe o gráfico. O que acontece com o domínio, imagem e o período da função?