[br][b]Función polinómica[br][br][/b][b]Función polinómica[/b] es una función que está definida por polinomios.[br][br]Sea el polinomio [math]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{\left(n-1\right)}x^{\left(n-1\right)}+a_{\left(n-2\right)}x^{\left(n-2\right)}+...+a_2x^2+ax+a_o[/math]. [br][br]Se define [b]f(x)[/b] como la función [b]f(x) = P(x)[/b]: [math]f\left(x\right)=a_nx^n+a_{\left(n-1\right)}x^{\left(n-1\right)}+a_{\left(n-2\right)}x^{\left(n-2\right)}+...+a_2x^2+ax+a_o[/math] [br][br]Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.[br][br][br][b]Dominio de las funciones polinómicas[br][br][/b]El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales. Todo número real tiene su imagen y es única: [math]\forall x\in\mathbb{R}[/math] / [math]f\left(x\right)\in\mathbb{R}[/math].[br][br][br][b]Rango de las funciones polinómicas[br][br][/b]El rango de las funciones polinómicas de [b]grado impar[/b] son todos los números reales. Todo número real en una función polinómica de grado impar, es imagen de algún número real.[br][br]El rango de las funciones polinómicas de [b]grado par[/b] es un subconjunto de los números reales:[br][br]- Si [b]a[sub]n[/sub][/b] [b]> 0[/b], el rango es el intervalo [b][y[sub]M[/sub],[/b] [math]\infty[/math][b])[/b], siendo [b]y[/b][sub][b]M[/b] [/sub]la ordenada del punto [b]mínimo absoluto[/b].[br][br]- Si [b]a[sub]n[/sub][/b] <[b] 0[/b], el rango es el intervalo [b]([math]-\infty[/math], y[sub]M[/sub]][/b], siendo [b]y[sub]M[/sub][/b] la ordenada del punto [b]máximo absoluto[/b]. [br][br]Veamos dos ejemplos de función cuadrática (n = 2):[br][br]a) [b]f(x) = 3x[sup]2[/sup] - 4x - 1[/b], a[sub]n[/sub] = 3 [br][br]Como a[sub]n[/sub] >0, la gráfica es convexa y tiene el mínimo absoluto en el punto [b]P[sub]M[/sub] = (0.66, - 2.33)[/b]. En consecuencia, el [b]rango [/b] de f(x) es el intervalo [b][- 2.33, [math]\infty[/math])[/b]. Reales mayores o iguales a - 2.33[br][br]b) [b]g(x) = - 3x[sup]2[/sup] - 3x +1[/b], a[sub]n[/sub] = - 3 [br][br]Como a[sub]n[/sub] <0, la gráfica es cóncava y tiene el máximo absoluto en el punto [b]P[sub]M[/sub] = (-0.5, 1.75)[/b]. En consecuencia, el [b]rango [/b] de gx) es el intervalo [b](-[math]\infty[/math], 1.75][/b]. Reales menores o iguales a 1.75[br][br][br][b]Raíces de las funciones polinómicas[br][br]Raíces o ceros de una función[/b] son cada uno de los valores [b]x[/b] en el que la función f(x) se hace cero, es decir, el polinomio de la función se iguala a cero. [br][br]Las raíces de una función pueden ser reales o complejas. [br][br]Si las raíces son reales, la función cruza o toca al eje X en esos valores de x.[br][br]Si una raíz real se repite, significa que la función es tangente al eje X en ese valor.[br][br]Si todas las raíces son complejas, la función no cruza ni toca al eje X.[br][br]Una función polinómica de grado [b]n[/b] tiene [b]n[/b] raíces o ceros entre raíces reales y raíces complejas. [br][br]Si f(3) = 0, entonces [b]x = 3[/b] es una raíz de la función f(x). La función cruza al eje X en el punto (3, 0). [br][br][br][b]Intercepto con el eje Y[br][br][/b]Todas las funciones polinómicas intersecan al eje Y en el punto [b]I[sub]y[/sub] = (0, a[sub]o[/sub])[/b], siendo [b]a[sub]o[/sub][/b] el término independiente del polinomio P(x). [i]Modifique el valor de [b]F[/b] en el applet y observe el comportamiento de la gráfica con relación al eje Y.[/i][br][br][br]Se presenta un [b]applet[/b] que permite mostrar gráficas de funciones polinómicas desde grado cero hasta grado 5. La forma genérica utilizada es [b]f(x) = Ax[sup]5[/sup] + Bx[sup]4[/sup] + Cx[sup]3[/sup] + Dx[sup]2[/sup] + Ex + F[/b] en donde los coeficientes A, B, C, D, E, F son manejados por deslizadores. [br][br]Si por ejemplo, se quiere mostrar una función cúbica se hará A = 0 y B = 0.

Explore el applet [b]Graficador de funciones polinómicas[/b] al final de este libro o también en el link https://www.geogebra.org/m/ybhvuukp#material/hcdwddsz